Ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$ nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{_{A}}^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{A}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = a \\ x_{A} = - a \end{array} .$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Vì $\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq 0$ nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq 1 \Rightarrow x_{0}^{2} \leq a^{2} \Rightarrow | x_{0} | \leq a .$

Câu 2/14

Cho hypebol $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Lời giải

a) Có a2 = 64, b2 = 36

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 8, b = 6 \\ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{64 + 36} = 10 \end{cases} .$

Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.

b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là $y = - \frac{b}{a} x = - \frac{6}{8} x = - \frac{3}{4} x$ và $y = \frac{b}{a} x = \frac{6}{8} x = \frac{3}{4} x .$

Câu 3/14

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₂(a; 0), tức là, MF₁– MF₂= 2a. Tính MF₁+ MF₂, MF₁, MF₂.

c) Giả sử M(x₀; y₀) thuộc nhánh chứa đỉnh A₁(–a; 0), tức là, MF₂– MF₁= 2a. Tính MF₁+ MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải

Media VietJack

Câu 4/14

Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6 $\sqrt{3} .$ Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Lời giải

Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6 $\sqrt{3} \Rightarrow$ 2a = 6, 2b = 6 $\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3 $\sqrt{3} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}} = 6.$

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ $= |a + \frac{c}{a} x| = |3 + \frac{6}{3} .9| = 21.$

MF₂ $= |a - \frac{c}{a} x| = |3 - \frac{6}{3} .9| = 15.$

Câu 5/14

Cho hypebol $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Lời giải

Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a = 1, b = \sqrt{3} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $= |a - \frac{c}{a} x| = |1 - \frac{2}{1} . x| = |1 - 2 x| .$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF₁ $= |a + \frac{c}{a} x| = |1 + \frac{2}{1} .1| = 3.$

Câu 6/14

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0). Xét các đường thẳng $Δ_{1} : x = - \frac{a^{2}}{c}$ và $Δ_{2} : x = \frac{a^{2}}{c}$ (H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$ và $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})}$ theo a và c.

Lời giải

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: $x + 0 y + \frac{a^{2}}{c} = 0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d (M, Δ_{1}) = \frac{|x + 0 y + \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x + \frac{a^{2}}{c}| .$

suy ra $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{|a + \frac{c}{a} x|}{|x + \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} + c x}{a}|}{|\frac{x c + a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: $x + 0 y - \frac{a^{2}}{c} = 0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d (M, Δ_{2}) = \frac{|x + 0 y - \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x - \frac{a^{2}}{c}| .$

suy ra $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})} = \frac{|a - \frac{c}{a} x|}{|x - \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} - c x}{a}|}{|\frac{x c - a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

Câu 7/14