Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1. a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc...

a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì ta có: x02a2−y02b2=1. Ta có: x02a2−−y02b2=−x02a2−y02b2=−x02a2−−y02b2=x02a2−y02b2=1 nên các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip. b) +) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành. Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (xA; 0) Mà A thuộc hypebol nên xA2a2−02b2=1⇒xA2=a2⇒xA=axA=−a. Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0). +) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B. Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; yB). Mà B thuộc hypebol nên 02a2−yB2b2=1⇒−yB2b2=1 (vô lí). Vậy hypebol không cắt trục tung. c) M(x0; y0) thuộc hypebol nên ta có: x02a2−y02b2=1. Vì y02b2≥0 nên x02a2≤1⇒x02≤a2⇒|x0| ≤a.

Câu hỏi:

13/07/2024 2,252

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hypebol có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$ nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{_{A}}^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{A}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = a \\ x_{A} = - a \end{array} .$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Vì $\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq 0$ nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq 1 \Rightarrow x_{0}^{2} \leq a^{2} \Rightarrow | x_{0} | \leq a .$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15).

Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của hypebol.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.10⁸ km $\Rightarrow$ c – a = 3.

– Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6

$\Rightarrow$ $\frac{c}{a} = 3,6 \Rightarrow \frac{a + 3}{3} = 3,6 \Rightarrow$ a = 7,8 $\Rightarrow$ a² = 60,84

$\Rightarrow$ c = 10,8 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 10,8² – 7,8² = 55,8.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{60,84} - \frac{y^{2}}{55,8} = 1.$

Câu 2

Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

tA, tB, tC, tD lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.tB – v.tC = v(tB – tC) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.tD – v.tA = v(tD – tA) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H1) nhận B, C làm tiêu điểm là $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ (a1 > 0, b1 > 0).

Vì MB – MC = 146 nên 2a1 = 146 $\Rightarrow$ a1 = 73 $\Rightarrow$ $a_{1}^{2}$ = 5329.

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c1 = 100

$\Rightarrow b_{1}^{2} = c_{1}^{2} - a_{1}^{2}$ = 1002 – 732 = 4671.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H1) là $\frac{x^{2}}{5329} - \frac{y^{2}}{4671} = 1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H2) nhận A, D làm tiêu điểm là $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$ (a2 > 0, b2 > 0).

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a2 = 292 $\Rightarrow$ a2 = 146 $\Rightarrow$ $a_{1}^{2}$ = 21316.

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c2 = 300

$\Rightarrow b_{2}^{2} = c_{2}^{2} - a_{2}^{2}$ = 3002 – 1462 = 68684.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H2) là $\frac{x^{2}}{21316} - \frac{y^{2}}{68684} = 1.$

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H1) và (H2) nên ta có:

$\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{5329} - \frac{y^{2}}{4671} = 1 \\ \frac{x^{2}}{21316} - \frac{y^{2}}{68684} = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} = \frac{341125277}{12500} \\ y^{2} = \frac{240617223}{12500} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \approx 165 \\ y \approx 139 \end{cases}$ (vì theo hình vẽ x, y > 0)

d) MB = $\sqrt{{[165 - (- 100)]}^{2} + {(139 - 0)}^{2}}$ ≈ 299 (km);

MC = $\sqrt{{(165 - 100)}^{2} + {(139 - 0)}^{2}}$ ≈ 153 (km).

Câu 3