Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.                                               

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:                    

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k = k.2k + 1. 

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) $S_1=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3},S_2=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}=\frac{2}{5},S_3=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}=\frac{3}{7}.$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_n=\frac{n}{2n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$                                                   

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_k=\frac{k}{2k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k+1}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=S_k+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.                                         

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

102(k + 1) + 1 + 1

= 10(2k + 1) + 2 + 1

= 100.102k + 1 + 1

= 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 99.

Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 52 = 25 = 32 + 42.                                               

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5k ≥ 3k + 4k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5k + 1 ≥ 3k + 1 + 4k + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5k + 1 = 5.5k ≥ 5(3k + 4k) = 5. 3k + 5.4k ≥ 3. 3k + 4.4k = 3k + 1 + 4k + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

a) ${\left(1+x\right)}^{10}=C_{10}^0{1}^{10}+C_{10}^1{1}^{9}x+C_{10}^2{1}^8{x}^2+\mathrm{...}+C_{10}^{9}1x^9+C_{10}^{10}{x}^{10}$

$=1+C_{10}^{1}x+C_{10}^2{x}^2+\mathrm{...}+C_{10}^9{x}^9+x^{10}.$

b) Áp dụng câu a) ta có:

${\left(\mathrm{1,1}\right)}^{10}={\left(1+\mathrm{0,1}\right)}^{10}$

$=1+C_{10}^1\mathrm{.0,1}+C_{10}^2{\left(\mathrm{0,1}\right)}^2+\mathrm{...}+C_{10}^9{\left(\mathrm{0,1}\right)}^9+{\left(\mathrm{0,1}\right)}^{10}>1+C_{10}^1\mathrm{.0,1}=2.$