Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta có 2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (n + 1).2n = n.2n + 1.

Câu hỏi:

11/07/2024 1,187

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.21 = 4 = 1.21 + 1.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k = k.2k + 1.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1 = (k + 1)2(k + 1) + 1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (k + 1).2k + [(k + 1) + 1].2k + 1

= k.2k + 1 + [(k + 1) + 1].2k + 1

= (2k + 2).2k + 1

= (k + 1).2.2k + 1

= (k + 1)2k + 2

= (k + 1).2(k + 1) + 1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án

Lời giải

Số hạng chứa x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là $C_{11}^{11 - 9} {(2 x)}^{9} {(- 3)}^{11 - 9} = C_{11}^{2} 2^{9} x^{9} {(- 3)}^{2} = C_{11}^{2} 2^{9} 3^{2} x^{9} = 253440 x^{9} .$

Vậy hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là 253440.

Câu 2

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án

Lời giải

Xét:

$M = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$N = C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$P = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 2} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$Q = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 3} + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

+) Ta có:

{(x + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

{(1 + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} + C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $M = {(1 + 1)}^{2 n} = 2^{2 n}$ .

+) Ta có:

{(x - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} - C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $N = {(1 - 1)}^{2 n} = 0$

Ta có: $P + Q = M = 2^{2 n}$ và $P - Q = N = 0$ nên $P = Q = 2^{2 n} : 2 = 2^{2 n - 1}$ .

Áp dụng: $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2 n - 1 = 11 \Rightarrow n = 6.$

Câu 3

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹².
Tìm hệ số a_k lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹².
Tìm hệ số a_k lớn nhất.