Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xét:

$M=C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$N=C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$;

$P={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^2+{\text{C}}_{2n}^4+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-2}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$;

$Q=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-3}+C_{2n}^{2n-1}.$

+) Ta có:

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\dots +C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

$={\text{C}}_{2n}^0+{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy $M={(1+1)}^{2n}=2^{2n}$.

+) Ta có:

$={\text{C}}_{2n}^0{x}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{x}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{x}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}x+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Cho x = 1, ta được:

${(1-1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{1}^{2n}-{\text{C}}_{2n}^1{1}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^2{1}^{2n-2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}1+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0-{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}.$

Vậy $N={(1-1)}^{2n}=0$

Ta có: $P+Q=M=2^{2n}$ và $P-Q=N=0$ nên $P=Q=2^{2n}:2=2^{2n-1}$.

Áp dụng: $C_{2n}^1+C_{2n}^3+\dots +C_{2n}^{2n-1}=2048\Rightarrow 2^{2n-1}=2048\Rightarrow 2n-1=11\Rightarrow n=6.$

+) Ta có:

$C_n^k\le C_n^{k+1}\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\le \frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}$

$\iff \left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!\le k!\left(n-k\right)!$

$\iff k+1\le n-k\iff 2k\le n-1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $\left(*\right)\iff k\le \frac{n-1}{2}.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n-1}{2}.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n-1}{2}}\le C_n^{\frac{n+1}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n.$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k=\frac{n-1}{2}.$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ và $C_n^{\frac{n+1}{2}}$.

– Nếu n chẵn thì $\left(*\right)\iff k\le \left[\frac{n-1}{2}\right]=\frac{n}{2}-1.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n}{2}-1.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n.$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n}{2}}$.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=4096\Rightarrow 2^n=4096\Rightarrow n=12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^6=924.$