Câu hỏi:

11/06/2022 1,116

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Ta có:

$C_{n}^{k} \leq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!}$

$\Leftrightarrow (k + 1)! (n - k - 1)! \leq k! (n - k)!$

$\Leftrightarrow k + 1 \leq n - k \Leftrightarrow 2 k \leq n - 1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $(*) \Leftrightarrow k \leq \frac{n - 1}{2} .$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n - 1}{2} .$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n - 1}{2}} \leq C_{n}^{\frac{n + 1}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k = \frac{n - 1}{2} .$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n - 1}{2}}$ và $C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}$ .

– Nếu n chẵn thì $(*) \Leftrightarrow k \leq [\frac{n - 1}{2}] = \frac{n}{2} - 1.$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n}{2} - 1.$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n}{2}}$ .

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 4096 \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Rightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^{6} = 924.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án

Lời giải

Số hạng chứa x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là $C_{11}^{11 - 9} {(2 x)}^{9} {(- 3)}^{11 - 9} = C_{11}^{2} 2^{9} x^{9} {(- 3)}^{2} = C_{11}^{2} 2^{9} 3^{2} x^{9} = 253440 x^{9} .$

Vậy hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là 253440.

Câu 2

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án

Lời giải

Xét:

$M = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$N = C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$P = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 2} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$Q = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 3} + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

+) Ta có:

{(x + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

{(1 + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} + C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $M = {(1 + 1)}^{2 n} = 2^{2 n}$ .

+) Ta có:

{(x - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} - C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $N = {(1 - 1)}^{2 n} = 0$

Ta có: $P + Q = M = 2^{2 n}$ và $P - Q = N = 0$ nên $P = Q = 2^{2 n} : 2 = 2^{2 n - 1}$ .

Áp dụng: $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2 n - 1 = 11 \Rightarrow n = 6.$

Câu 3

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹².
Tìm hệ số a_k lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị Cn0,Cn1,…,Cnn. Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Bình luận

Tìm hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11.

Chứng minh rằng C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1. Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn C2n1+C2n3+…+C2n2n−1=2048.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5n ≥ 3n + 4n.

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta có 2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (n + 1).2n = n.2n + 1.

Khai triển đa thức (1 + 2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 + ... + a12x12. Tìm hệ số ak lớn nhất.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Khai triển đa thức (1 + 2x)¹² thành dạng a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₂x¹².
Tìm hệ số a_k lớn nhất.