Câu hỏi:

11/06/2022 835

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Ta có:

$C_{n}^{k} \leq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!}$

$\Leftrightarrow (k + 1)! (n - k - 1)! \leq k! (n - k)!$

$\Leftrightarrow k + 1 \leq n - k \Leftrightarrow 2 k \leq n - 1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $(*) \Leftrightarrow k \leq \frac{n - 1}{2} .$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n - 1}{2} .$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n - 1}{2}} \leq C_{n}^{\frac{n + 1}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k = \frac{n - 1}{2} .$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n - 1}{2}}$ và $C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}$ .

– Nếu n chẵn thì $(*) \Leftrightarrow k \leq [\frac{n - 1}{2}] = \frac{n}{2} - 1.$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n}{2} - 1.$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n}{2}}$ .

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 4096 \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Rightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^{6} = 924.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,459

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Xem đáp án » 11/06/2022 845

Câu 3:

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Xem đáp án » 11/06/2022 717

Câu 4:

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án » 11/07/2024 695

Câu 5:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Xem đáp án » 11/07/2024 610

Câu 6:

Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Xem đáp án » 11/06/2022 487

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP