Bài tập Parabol có đáp án

a) M(x₀; y₀) thuộc parabol thì $y_0^2=2p{x}_0.$

Có ${\left(-y_0\right)}^2=y_0^2=2p{x}_0$  nên N(x₀; –y₀) cũng thuộc parabol.

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6) $\Rightarrow$  6² = 2p.6 $\Rightarrow$  p = 3.

Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}.$

a) Điểm F có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là $\Delta :x=-\frac{p}{2}.$

b) Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).

Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\iff x+0.y+\frac{p}{2}=0.$

Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là: 

d(M; Δ) = $\frac{\left|x_0+0.y_0+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x_0+\frac{p}{2}\right|=x_0+\frac{p}{2}.$

Vậy MF = d(M; Δ) = $x_0+\frac{p}{2}.$

Có 2p = 8$\Rightarrow$ p = 4  $\Rightarrow$Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4² = 8x $\Rightarrow$  x = 2. Vậy M(2; 4).

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 2px (p > 0).

Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là MF = x + $\frac{p}{2}\ge \frac{p}{2}.$

Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$

 $\Rightarrow \frac{p}{2}=106\Rightarrow$p = 212.

Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 424x.

Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng $\frac{p}{2}$  thì M có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=106$

 $\Rightarrow$Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là:

MF = x +$\frac{p}{2}$= 106 + 106 = 212 (km).

a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).

Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96 $\Rightarrow {96}^2=48x\Rightarrow x=192.$

Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.

b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:

– Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).

– Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).

c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y² = 2px (p > 0).

Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là $\left(h;\frac{d}{2}\right)=\left(\mathrm{1,92};\frac{\mathrm{1,92}}{2}\right)=\left(\mathrm{1,92};\mathrm{0,96}\right).$

Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y² = 0,48x.

d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{\mathrm{0,24}}{2};0\right)=\left(\mathrm{0,12};0\right).$

Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m

$\Rightarrow$ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).

Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất.

Có 2p = 12$\Rightarrow$  p = 6 $\Rightarrow$  Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.

Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là MF = x + $\frac{p}{2}=5+\frac{6}{2}=8.$

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm $M(3;3\sqrt{2})$  $\Rightarrow {\left(3\sqrt{2}\right)}^2=2p.3\Rightarrow p=3.$

Bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là MF = x +$\frac{p}{2}=x+\frac{3}{2}.$

Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là p = 3.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh bát đáy và trục Ox đi qua dây tóc (tiêu điểm).

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = 20 thì y = 15 hoặc y = –15, do đó 15² = 2p.20$\Rightarrow$  p = 5,625.

Khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy là $\frac{p}{2}=\frac{\mathrm{5,625}}{2}=\mathrm{2,815}$  (cm).

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = p + 130 thì y = 120 hoặc y = –120, do đó 120² = 2p( $\frac{p}{2}$+ 130) $\Rightarrow$  p ≈ 46,92.

Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là $\frac{p}{2}\approx \frac{\mathrm{46,92}}{2}=\mathrm{23,26}$  (cm).