Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

51 người thi tuần này 4.6 1.4 K lượt thi 10 câu hỏi

Câu 1

Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Sau bài học này ta sẽ giải được bài toán như sau:

Gọi x, y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư

Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: x + y ≤ 100

Số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình:

20x + 10y ≤ 1 200

Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là: F(x;y) = 3,5x + 2y (triệu đồng)

Bài toán trở thành tìm giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:

\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 20 x + 10 y \leq 1200 \end{cases}

để F(x;y) = 3,5x + 2y là lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ bằng cách biểu diễn từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ bất phương trình (1), rồi lấy giao của các miền nghiệm ta được miền nghiệm của hệ BPT (1) là tứ giác OMNP với tọa độ các điểm O(0;0), M(0;100), N(20;80), P(60;0).

Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa (ảnh 2)

Tại O(0;0) giá trị biểu thức F(x;y) = 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.0 = 0;

Tại M(0;100) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.100 = 200;

Tại N(20;80) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.20 + 2.80 = 230;

Tại P(60;0) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.60 + 2.0 = 210;

Suy ra tại x = 20, y = 80 thì giá trị biểu thức 3,5x + 2y là lớn nhất.

Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 loại điều hòa hai chiều, 80 loại điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu 2

Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thỏa mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số máy điều hòa hai chiều cần nhập là x; số máy điều hòa một chiều cần nhập là y ( $x; y \in ℕ$ ). Khi đó, số tiền để mua x điều hòa hai chiều là 20x và số tiền để mua y điều hòa một chiều là 10y .

Số tiền vốn cửa hàng phải bỏ ra là 20x + 10y (triệu đồng)

a) Do nhu cầu không quá 100 máy nên x + y $\leq 100$ .

b) Vì số vốn mà cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn bất phương trình 20x + 10y 1 200 (triệu đồng).

c) Vì mỗi điều hòa hai chiều dự kiến lãi 3,5 triệu đồng/ máy và mỗi điều hòa một chiều dự kiến lãi 2 triệu đồng/máy nên số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu được theo x và y là: 3,5x + 2y (triệu đồng).

Câu 3

Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều, một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Xem đáp án

Lời giải

Từ HĐ1 ta có hệ bất phương trình:

\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 20 x + 10 y \leq 1200 \end{cases}

Ta có x = 30 > 0, y = 50 > 0 thỏa mãn

30 + 50 = 80 ≤ 100;

20.30 + 10.50 = 1 100 ≤ 1 200

Do đó x = 30, y = 50 là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 4

Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a) Xác định các miền nghiệm D₁, D₂, D₃ của các bất phương trình tương ứng x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 150.

b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền nghiệm D₁, D₂, D₃ hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+) Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).

+) Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 .

- Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0.

- Vì 0 + 0 = 0 < 150 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150

Do đó miền nghiệm D₃của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

b) Giao điểm của ba miền nghiệm D₁, D₂, D₃ là miền tam giác OAB với O(0;0), A(150;0) và B(0;150)

Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt (ảnh 2)

Do đó miền tam giác OAB (H.2.5) có là giao của các miền nghiệm D₁, D₂, D₃.

c) Điểm (1;2) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 2 > 0 và 1 + 2 = 3 < 150 nên cặp sô (x; y) = (1;2) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Điểm (1;149) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 149 > 0 và 1 + 149 = 150

≤ 150 nên cặp số (x; y) = (1;149) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 5

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y > 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2 x + y < 120 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

+) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

+)Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể biên.

Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

Ta vẽ đường thẳng x + y = 100 (d₁). Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm này vào x + y ta được: 0 + 0 < 100. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O kể cả bờ là đường thẳng d₁.

+) Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120

Ta vẽ đường thẳng 2x + y = 120 (d’). Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm này vào 2x + y ta được: 2.0 + 0 < 120. Vậy miền nghiệm D₄ của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa điểm O không kể bờ là đường thẳng d’.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng (ảnh 1)

Câu 6