Bài tập Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Hướng dẫn giải

Ta viết phương trình (C) ở dạng (x – (– 2))² + (y – 4)² = \({\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).

Vậy (C) có tâm I(– 2; 4) và bán kính R = \(\sqrt 7 \).

Hướng dẫn giải

 a) Phương trình x² – y² – 2x + 4y – 1 = 0 không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: x² + y² – 2x + 4y + 6 = 0

⇔ x² + y² – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 6 = 0.

Có các hệ số a = 1, b = – 2, c = 6.

Ta có: a² + b² – c = 1² + (– 2)² – 6 = – 1 < 0.

Vậy phương trình b) không phải là phương trình đường tròn.

c) x² + y² + 6x – 4y + 2 = 0

⇔ x² + y² – 2 . (– 3) . x – 2 . 2 y + 2 = 0.

Có các hệ số a = – 3, b = 2, c = 2.

Ta có: a² + b² – c = (– 3)² + 2² – 2 = 11 > 0.

Do đó phương trình c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 2) và bán kính R = \(\sqrt {11} \).

Hướng dẫn giải

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B\(\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;\,4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)\) nên d₁ cũng nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0.

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng NP đi qua B\(\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{{ - 9}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {NP} = \left( {1;\, - 7} \right)\), do đó phương trình d₂ là: \(1\left( {x - \frac{5}{2}} \right) - 7\left( {y + \frac{9}{2}} \right) = 0\) hay x – 7y – 34 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d₁ và d₂.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 9 = 0\\x - 7y - 34 = 0\end{array} \right.\).

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =\(\sqrt {{{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 5\).

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)² + (y + 5)² = 25.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0).

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²).

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²).

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có:

3,14x² + 3,14y² = S hay x² + y² = \(\frac{S}{{3,14}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x² + y² = \(\frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0; 0), bán kính R = \(\sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.