Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình x² + y² = 25. Khi tới vị trí M(3; 4) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào ?

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là

(x – (–2))² + (y – 5)² = 7² hay (x + 2)² + (y – 5)² = 49.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.

Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \)= 5.

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – (– 2))² = 5²

Hay (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I\(\left( {\frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2};\frac{{\left( { - 3} \right) + 5}}{2}} \right)\) hay I(– 2; 1).

Ta có: AB = \(\sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + \left( {5 - {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)} \) = \(2\sqrt {17} \).

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

${\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$ hay (x + 2)² + (y – 1)² = 17.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).

Ta có: R = d(I, ∆) = \(\frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2$ hay (x – 1)² + (y – 3)² = 20.