Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°).

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là

(x – (–2))² + (y – 5)² = 7² hay (x + 2)² + (y – 5)² = 49.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.

Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \)= 5.

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – (– 2))² = 5²

Hay (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I\(\left( {\frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2};\frac{{\left( { - 3} \right) + 5}}{2}} \right)\) hay I(– 2; 1).

Ta có: AB = \(\sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + \left( {5 - {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)} \) = \(2\sqrt {17} \).

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

${\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$ hay (x + 2)² + (y – 1)² = 17.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).

Ta có: R = d(I, ∆) = \(\frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2$ hay (x – 1)² + (y – 3)² = 20.