Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là M(5; 0), N\(\left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 3}}{2}} \right)\).

Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)\) nên d₁ cũng nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 5) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 5 = 0.

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng BC đi qua N\(\left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;\, - 7} \right)\), do đó phương trình d₂ là: \(1\left( {x - \frac{9}{2}} \right) - 7\left( {y + \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay x – 7y – 15 = 0.

Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d₁ và d₂.

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 5 = 0\\x - 7y - 15 = 0\end{array} \right.\).

Suy ra I(1; – 2). Đường tròn (C) có bán kính là IA =\(\sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\).

Vậy phương trình của (C) là: (x – 1)² + (y + 2)² = 25.