Giải SBT Toán 10 Bài 7. Các khái niệm mở đầu có đáp án

Lời giải

Ta có: M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên trung tuyến AM đi qua điểm G.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

Do đó khẳng định a) là đúng.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] ngược hướng

Do đó khẳng định b) là sai và khẳng định c) là đúng.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG = \frac{2}{3}AM\)

AM = 3MG.

Do đó \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)

Do đó khẳng định d) là đúng.

Vậy các khẳng định đúng là: a), c) và d).

Lời giải

Vì vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với mọi vectơ nên:

+ Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow a \)

+ Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow b \)

Do đó có một vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với cả \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Lời giải

Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng phương và cùng khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nhau.

Trường hợp 1: Nếu \[\overrightarrow a \] cùng hướng với \(\overrightarrow b \) (hoặc \(\overrightarrow a \) cùng hướng với \(\overrightarrow c \))

Thì khi đó có hai vectơ cùng hướng.

Trường hợp 2: Nếu \[\overrightarrow a \] ngược hướng với cả \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \)

Vì \[\overrightarrow a \] ngược hướng với \(\overrightarrow b \), \[\overrightarrow a \] ngược hướng với \(\overrightarrow c \)

Nên khi đó \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) cùng hướng với nhau.

Do đó có hai vectơ trong ba vectơ cùng hướng với nhau

Vậy có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có cùng hướng.

Lời giải

Do ABCDEF là lục giác đều tâm O nên:

+ Các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB = ED, BC = FE, CD = FA;

+ Ba đường chéo chính AD, BE, CF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường;

+ Mỗi đường chéo chính song song với một cặp cạnh có đầu mút không thuộc đường chéo ấy.

a) Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} \) mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {AD} .\)

b) Vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} .\)

Lời giải

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ AB

Mặt khác AA' là đường kính của (O), B ∈ (O) nên \(\widehat {ABA'} = 90^\circ \)

Do đó AA' ⊥ AB

Suy ra CH // AA' (từ vuông góc đến song song)

Chứng minh tương tự ta cũng có BH // A'C

Tứ giác BHCA' có CH // AA' và BH // A'C

Suy ra BHCA' là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {{\rm{A'C}}} .\)

Lời giải

Ta có: O và M lần lượt là trung điểm của AA' và BC

Nên OM là đường trung bình của tam giác AA'H

Do đó AH = 2OM và OM // AH (tính chất đường trung bình)

Vậy, hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {AH} \) có:

+ Cùng phương

+ Cùng hướng

+ \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)