Giải SBT Toán 10 Bài 9. Tích của một vectơ với một số có đáp án

Lời giải

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \)

+) E là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} \)

Do đó \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {BE} \]

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)

+) Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)

+) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \]

Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;\) \[\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \] và \(\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} .\)

Lời giải

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB² = OA² + OB² (định lí Pythagoras)

AB² = a² + a² = 2a²

\( \Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2 \)

+) Có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) (quy tắc hình bình hành)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2 \]

+) Có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2 \)

+) Lấy điểm D sao cho \(\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OD = 2OB.

Có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} \)

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\]

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

OE² = (2OB)² + OA²

OE² = (2a)² + a² = 5a²

\[ \Rightarrow OE = a\sqrt 5 \]

Do đó \[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \]

+) Lấy điểm G sao cho \(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB} \)

Khi đó: hai vectơ \(\overrightarrow {OG} \), \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ \(\overrightarrow {OH} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OH = 3OB.

Có: \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH} \)

\( = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO} \) \( = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG} \)

\( = \overrightarrow {HG} \)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

HG² = (2OA)² + (3OB)²

HG² = (2a)² + (3a)²

HG² = 13a²

\( \Rightarrow HG = a\sqrt {13} \)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)

Vậy \[\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\]\(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \] và \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)

Lời giải

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và \(AH = 2.OM\) (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \) có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]

Vậy \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]

Lời giải

Vì

M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \)

Mà \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \] (câu a)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]

Vậy \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\]

Mà \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \] (câu b)

Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)

Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Lời giải

Với điểm O bất kì ta có:

+) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \) (do M là trung điểm của AB)

+) \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \) (do N là trung điểm của CD)

+) \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow {OI} \) (do I là trung điểm của MN)

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} \)

\( = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.2\overrightarrow {OI} = 4\overrightarrow {OI} \)

Vậy với điểm O bất kì đều có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)