Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Cho tam giác ABC.

Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]

Cho tam giác ABC.

Xác định điểm N thoả mãn \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]

Cho tam giác ABC.

Tìm điểm K thoả mãn \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 .\)

Cho tam giác ABC.

Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {2MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|.\)

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực \(\overrightarrow P \) của vật và lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.