Câu hỏi:
11/07/2024 6,139Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành
Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông
OC = AB
Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)
AB2 = a2 + a2 = 2a2
\( \Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2 \)
+) Có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) (quy tắc hình bình hành)
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2 \]
+) Có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2 \)
+) Lấy điểm D sao cho \(\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OD = 2OB.
Có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} \)
Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\]
Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)
OE2 = (2OB)2 + OA2
OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2
\[ \Rightarrow OE = a\sqrt 5 \]
Do đó \[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \]
+) Lấy điểm G sao cho \(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB} \)
Khi đó: hai vectơ \(\overrightarrow {OG} \), \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng và OG = 2OA;
Và hai vectơ \(\overrightarrow {OH} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OH = 3OB.
Có: \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH} \)
\( = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO} \) \( = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG} \)
\( = \overrightarrow {HG} \)
\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)
Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)
HG2 = (2OA)2 + (3OB)2
HG2 = (2a)2 + (3a)2
HG2 = 13a2
\( \Rightarrow HG = a\sqrt {13} \)
Do đó \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)
Vậy \[\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\]\(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \] và \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\]
Mà \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \] (câu b)
Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng
O, H, G thẳng hàng.
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Lời giải
Lời giải
Vì
M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \)
Mà \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \] (câu a)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Vậy \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
-
Bộ 2 Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton (có lời giải)
-
50 câu trắc nghiệm Thống kê cơ bản (phần 1)