Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)

Lời giải

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB² = OA² + OB² (định lí Pythagoras)

AB² = a² + a² = 2a²

\( \Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2 \)

+) Có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) (quy tắc hình bình hành)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2 \]

+) Có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2 \)

+) Lấy điểm D sao cho \(\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OD = 2OB.

Có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} \)

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\]

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

OE² = (2OB)² + OA²

OE² = (2a)² + a² = 5a²

\[ \Rightarrow OE = a\sqrt 5 \]

Do đó \[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \]

+) Lấy điểm G sao cho \(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB} \)

Khi đó: hai vectơ \(\overrightarrow {OG} \), \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ \(\overrightarrow {OH} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OH = 3OB.

Có: \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OH} \)

\( = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO} \) \( = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG} \)

\( = \overrightarrow {HG} \)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

HG² = (2OA)² + (3OB)²

HG² = (2a)² + (3a)²

HG² = 13a²

\( \Rightarrow HG = a\sqrt {13} \)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)

Vậy \[\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\]\(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\[\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \] và \(\left| {2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)