Câu hỏi:
13/07/2022 2,229Cho tam giác ABC.
Xác định điểm N thoả mãn \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có: \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 4\overrightarrow {NA} - 2\left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {NC} \]
\[ = 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} \]
\[ = 2\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} \]
\[ = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right)\]
Gọi H là trung điểm của AC, khi đó \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NH} \)
\[ \Rightarrow 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {AB} + 2.\overrightarrow {NH} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {NA} + 2.\overrightarrow {NH} } \right) - 2\overrightarrow {AB} \]
Giả sử P là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {PA} + 2.\overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0 \]
Khi đó \[\overrightarrow {NA} + 2.\overrightarrow {NH} = \left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PH} } \right)\]
\( = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PH} \)
\( = 3\overrightarrow {NP} + \overrightarrow 0 \)
\( = 3\overrightarrow {NP} \)
\( \Rightarrow 4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB} \)
Mà \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]
Nên \(3\overrightarrow {NP} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {NP} = 2\overrightarrow {AB} \)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]
Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \[\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AQ} \]
Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn \[\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \] và P thỏa mãn \[\overrightarrow {PA} + 2.\overrightarrow {PH} = \overrightarrow 0 \], H là trung điểm của AC).
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Câu 2:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]
Câu 3:
Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]
Câu 4:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)
Câu 5:
Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Câu 6:
Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực \(\overrightarrow P \) của vật và lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.
về câu hỏi!