Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\]

Mà \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \] (câu b)

Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)

Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} } \right)\)

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: \[\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MK} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 2.2\overrightarrow {MK} = 4\overrightarrow {MK} .\]

Mà \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]

Do đó \[4\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).