Câu hỏi:
11/07/2024 4,512Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 10 Bài 9. Tích của một vectơ với một số có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Qua M,
kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.
Tam giác ABC đều nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)
Mà PQ // AB nên \(\widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ ,\)
HK // AC nên \(\widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)
Tam giác MQK có: \(\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.
Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến
Do đó D là trung điểm của QK
\( \Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) \(\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MF} \)(2)
+) \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME} \)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {ME} \)
\[ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right)\]
Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} \)
Tương tự ta có \[\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} \]
Khi đó \[2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right)\]
Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên \[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\]
Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Xem đáp án »
11/07/2024
8,218
Câu 2:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
7,965
Câu 3:
Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
7,042
Câu 4:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
6,840
Câu 5:
Cho tam giác ABC.
Xác định điểm N thoả mãn \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
6,453
Câu 6:
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Xem đáp án »
11/07/2024
5,594
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao (P1)
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
28 câu Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản (P1)
-
5 câu Trắc nghiệm Phương sai và độ lệch chuẩn có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
50 câu trắc nghiệm Thống kê nâng cao (P1)
về câu hỏi!