Câu hỏi:
11/07/2024 5,160Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng →MD+→ME+→MF=32→MO.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Qua M,
kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.
Tam giác ABC đều nên ^ABC=^ACB=60∘
Mà PQ // AB nên ^MQK=^ABC=60∘,
HK // AC nên ^MKQ=^ACB=60∘
Tam giác MQK có: ^MQK=^MKQ=60∘ nên là tam giác đều.
Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến
Do đó D là trung điểm của QK
⇒→MQ+→MK=2→MD(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) →MH+→MI=2→MF(2)
+) →MP+→MJ=2→ME(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
→MQ+→MK+→MH+→MI+→MP+→MJ=2→MD+2→MF+2→ME
⇒2(→MD+→MF+→ME)=(→MQ+→MI)+(→MK+→MJ)+(→MH+→MP)
Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành
⇒→MI+→MQ=→MB
Tương tự ta có →MK+→MJ=→MC;→MH+→MP=→MA
Khi đó 2(→MD+→MF+→ME)=→MB+→MC+→MA
⇒→MD+→MF+→ME=12(→MB+→MC+→MA)
Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên →MB+→MC+→MA=3→MO
⇒→MD+→MF+→ME=12.3→MO=32→MO.
Vậy →MD+→ME+→MF=32→MO.
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Xem đáp án »
11/07/2024
12,746
Câu 2:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng →OA+→OB+→OC=→OH.
Xem đáp án »
11/07/2024
9,327
Câu 4:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng →AH=2→OM.
Xem đáp án »
11/07/2024
7,696
Câu 6:
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau →OA+→OB, →OA−→OB, →OA+2→OB, 2→OA−3→OB.
Xem đáp án »
11/07/2024
6,048
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Quy tắc đếm có đáp án
-
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
-
16 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Mệnh đề có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận