Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Lời giải

Qua M,

kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Mà PQ // AB nên \(\widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ ,\)

HK // AC nên \(\widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Tam giác MQK có: \(\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

\( \Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD} \)(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) \(\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MF} \)(2)

+) \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME} \)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {ME} \)

\[ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right)\]

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} \)

Tương tự ta có \[\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} \]

Khi đó \[2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right)\]

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên \[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\]

Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)