Câu hỏi:
13/07/2022 406Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
+)
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình)
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \)(2)
Và \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AA}}} \)(quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \)
+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {QG'} + \overrightarrow {SG'} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} = \overrightarrow 0 \)
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} ;\)
+) \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} ;\)
+) \(\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} ;\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3.\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} } \right)\)
\( = \overrightarrow 0 + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \)
\( = 3.\overrightarrow {GG'} \)
+) Lại có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \) (chứng minh trên)
Nên \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G và G' trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Câu 2:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]
Câu 3:
Cho tam giác ABC.
Xác định điểm N thoả mãn \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]
Câu 4:
Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]
Câu 5:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)
Câu 6:
Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Câu 7:
Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực \(\overrightarrow P \) của vật và lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.
về câu hỏi!