Câu hỏi:
11/07/2024 717Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
+)
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình)
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \)(2)
Và \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AA}}} \)(quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \)
+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {QG'} + \overrightarrow {SG'} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} = \overrightarrow 0 \)
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} ;\)
+) \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} ;\)
+) \(\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} ;\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3.\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} } \right)\)
\( = \overrightarrow 0 + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \)
\( = 3.\overrightarrow {GG'} \)
+) Lại có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \) (chứng minh trên)
Nên \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G và G' trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
Xem đáp án »
11/07/2024
12,887
Câu 2:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
9,363
Câu 3:
Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M sao cho \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
8,518
Câu 4:
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
7,708
Câu 5:
Cho tam giác ABC.
Xác định điểm N thoả mãn \[4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\]
Xem đáp án »
11/07/2024
7,217
Câu 6:
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Xem đáp án »
11/07/2024
6,056
Câu 7:
Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Xem đáp án »
11/07/2024
5,168
🔥 Đề thi HOT:
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Quy tắc đếm có đáp án
-
10 Bài tập Các bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton (có lời giải)
-
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận