Câu hỏi:
11/07/2024 757Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
+)
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình)
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \)(2)
Và \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AA}}} \)(quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \)
+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {QG'} + \overrightarrow {SG'} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} = \overrightarrow 0 \)
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} ;\)
+) \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q} ;\)
+) \(\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'S} ;\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3.\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} } \right)\)
\( = \overrightarrow 0 + 3.\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \)
\( = 3.\overrightarrow {GG'} \)
+) Lại có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \) (chứng minh trên)
Nên \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G và G' trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\]
Mà \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \] (câu b)
Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng
O, H, G thẳng hàng.
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Lời giải
Lời giải
Vì
M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \)
Mà \[\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \] (câu a)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Vậy \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.