Câu hỏi:

11/06/2022 458

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^{2n + 1} + 1 chia hết cho 11.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 0 ta có 102.0 + 1 + 1 = 11 ⁝ 11.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 102k + 1 + 1 chia hết cho 11.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Thật vậy, ta có:

102(k + 1) + 1 + 1

= 10(2k + 1) + 2 + 1

= 100.102k + 1 + 1

= 100.102k + 1 + 100 – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 100 + 1

= 100(102k + 1 + 1) – 99.

Vì 102k + 1 + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(102k + 1 + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 102(k + 1) + 1 + 1 chia hết cho 11.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án

Lời giải

Số hạng chứa x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là $C_{11}^{11 - 9} {(2 x)}^{9} {(- 3)}^{11 - 9} = C_{11}^{2} 2^{9} x^{9} {(- 3)}^{2} = C_{11}^{2} 2^{9} 3^{2} x^{9} = 253440 x^{9} .$

Vậy hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11 là 253440.

Câu 2

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án

Lời giải

Xét:

$M = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$N = C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$P = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 2} + C_{2 n}^{2 n}$ ;

$Q = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 3} + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

+) Ta có:

{(x + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

{(1 + 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} + C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $M = {(1 + 1)}^{2 n} = 2^{2 n}$ .

+) Ta có:

{(x - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} 1^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} 1^{2 n}

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} x + C_{2 n}^{2 n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 - 1)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} 1^{2 n} - C_{2 n}^{1} 1^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2} 1^{2 n - 2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} 1 + C_{2 n}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} .$

Vậy $N = {(1 - 1)}^{2 n} = 0$

Ta có: $P + Q = M = 2^{2 n}$ và $P - Q = N = 0$ nên $P = Q = 2^{2 n} : 2 = 2^{2 n - 1}$ .

Áp dụng: $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2^{2 n - 1} = 2048 \Rightarrow 2 n - 1 = 11 \Rightarrow n = 6.$

Câu 3