Câu hỏi:

11/06/2022 562

Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $S_{1} = \frac{1}{1.3} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} = \frac{2}{5}, S_{3} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} = \frac{3}{7} .$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_{1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_{k} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9

Đã bán 121

₫ 110.000 ₫ 31.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025

Đã bán 100

₫ 40.500 ₫ 13.600

Hà Nội

Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack

Đã bán 218

₫ 130.000 ₫ 75.000

Hà Nội

Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack

Đã bán 1k

₫ 104.000 ₫ 52.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,721

Câu 2:

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án » 11/07/2024 1,036

Câu 3:

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Xem đáp án » 11/06/2022 994

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Xem đáp án » 11/06/2022 934

Câu 5:

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Xem đáp án » 11/06/2022 798

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Xem đáp án » 11/07/2024 698

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Đặt Sn=11.3+13.5+…+1(2n−1)(2n+1). a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tìm hệ số của x9 trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)11.

Chứng minh rằng C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1. Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn C2n1+C2n3+…+C2n2n−1=2048.

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị Cn0,Cn1,…,Cnn. Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5n ≥ 3n + 4n.

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta có 2.21 + 3.22 + 4.23 + ... + (n + 1).2n = n.2n + 1.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.