Câu hỏi:

11/06/2022 486

Đặt $S_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ .

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 2 có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $S_{1} = \frac{1}{1.3} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} = \frac{2}{5}, S_{3} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} = \frac{3}{7} .$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_{1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_{k} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)¹¹.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,459

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Xem đáp án » 11/06/2022 845

Câu 3:

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n} .$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Xem đáp án » 11/06/2022 835

Câu 4:

Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)n với p > 0, q > 0, p + q = 1.

Xem đáp án » 11/06/2022 717

Câu 5:

Chứng minh rằng $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thoả mãn $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2048.$

Xem đáp án » 11/07/2024 695

Câu 6:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta có

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Xem đáp án » 11/07/2024 610

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP