Câu hỏi:

24/05/2022 496

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) .$ Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y)$ là một số thực có dạng $a = b \sqrt{7} (a, b \in ℝ) .$ Tính giá trị của a + b.

A. a + b = -28

B. a + b = -30

C. a + b = -29

D. a + b = -31

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Ta có $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) \Leftrightarrow (y + 1) \log_{3} (x + 1) (y + 1) = 9 - (x - 1) (y + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) (y + 1) = \frac{9}{y + 1} - (x - 1) \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + \log_{3} (y + 1) = \frac{9}{y + 1} - x + 1.$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + x - 1 = - \log_{3} (y + 1) + \frac{9}{y + 1} \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + x + 1 = \log_{3} \frac{9}{y + 1} + \frac{9}{y + 1} (1) .$

Xét hàm số $y = f (t) = \log_{3} t + t$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty),$ nên hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty) .$

Từ (1) ta có $f (x + 1) = f (\frac{9}{y + 1}) \Leftrightarrow x + 1 = \frac{9}{y + 1} \Leftrightarrow (x + 1) (y + 1) = 9 \Leftrightarrow x y + x + y = 8.$

Khi đó $P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y) = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 57 (x + y)$

$= {(x + y)}^{3} - 3 (8 - x - y) (x + y) - 57 (x + y)$

Đặt $t = x + y, t > 2 \Rightarrow g (t) = t^{3} - 3 (8 - t) t - 57 t = t^{3} + 3 t^{2} - 81 t$ với t > 2

Ta có $g' (t) = 3 t^{2} + 6 t - 81 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 + 2 \sqrt{7} (n) \\ t = - 1 - 2 \sqrt{7} (l) \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên của hàm g(t) trên $(2; + \infty) .$

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và (ảnh 1)

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy $P_{\min} = g (- 1 + 2 \sqrt{7}) = 83 - 112 \sqrt{7} .$

Suy ra $\{\begin{cases} a = 83 \\ b = - 112 \end{cases} \Rightarrow a + b = - 29.$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (x - 1)$ là

A. $(- \infty; + \infty)$

B. $[1; + \infty) .$

C. $[0; + \infty) .$

D. $(1; + \infty) .$

Lời giải

Chọn D.

ĐKXĐ: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Tập xác định của hàm số là $D = (1; + \infty) .$

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\{\begin{cases} a d > 0 \\ b c > 0 \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} a d < 0 \\ b c > 0 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} a d > 0 \\ b c < 0 \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} a d < 0 \\ b c < 0 \end{cases} .$

Lời giải

Chọn C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = y_{0} > 0 \Rightarrow \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow a, c$ cùng dấu (1).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = x_{0} < 0 \Rightarrow - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow \frac{d}{c} > 0 \Rightarrow d, c$ cùng dấu (2).

Từ (1), (2) $\Rightarrow a, d$ cùng dấu $\Rightarrow a d > 0.$

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow \frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b, d$ trái dấu (3).

Từ $(2), (3) \Rightarrow b, c$ trái dấu $\Rightarrow b c < 0 .$

Vậy chọn đáp án đúng là C.

Câu 3

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x + sinx thỏa mãn F(0) = 19 là:

A. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} .$

B. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20.$

C. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 2.$

D. $F (x) = \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Khối cầu có bán kính R = 3 có thể tích bằng bao nhiêu?

A. $36 π .$

B. $72 π .$

C. $112 π .$

D. $48 π .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $(2 + 3 i) z + 4 - 3 i = 13 + 4 i .$ Môđun của z bằng

A. $\sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ $\vec{a} (3; 0; 1), \vec{b} (1; - 1; - 2), \vec{c} (2; 1; - 1) .$ Tính $T = \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) .$

A. T = 9

B. T = 0

C. T = 3

D. T = 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng như hình bên (các kích thước cho như trong hình).

Tính thể tích của khối đồ chơi đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

A. 22668

B. 28750

C. 27990

D. 26340

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) .$ Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y)$ là một số thực có dạng $a = b \sqrt{7} (a, b \in ℝ) .$ Tính giá trị của a + b.

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (x - 1)$ là

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho số phức z thỏa mãn $(2 + 3 i) z + 4 - 3 i = 13 + 4 i .$ Môđun của z bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ $\vec{a} (3; 0; 1), \vec{b} (1; - 1; - 2), \vec{c} (2; 1; - 1) .$ Tính $T = \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) .$

Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng như hình bên (các kích thước cho như trong hình).

Tính thể tích của khối đồ chơi đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).