Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2-2m+1$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{\left[1;3\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 10.$ Số các giá trị nguyên của S trong đoạn [-30; 30) là

Chọn A.

Ta có $f\text{'}=3x^2+6x>0\forall x\in \left[1;3\right]$ nên hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [1; 3] tức là f(1) < f(3).

Lại có $f\left(1\right)=5-2m,f\left(3\right)=55-2m.$ Ta xét các trường hợp:

+) Trường hợp 1: $f\left(3\right)\le 0\iff m\ge \frac{55}{2}.$

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(3\right)\right|=2m-55$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5+55-2m\ge 10\iff m\ge \frac{35}{2}.$

Kết hợp $m\ge \frac{55}{2}$ có $m\ge \frac{55}{2} \left(1\right)$

+) Trường hợp 2: $f\left(1\right)<0<f\left(3\right)\iff 5-2m<0<55-2m\iff \frac{5}{2}<m<\frac{55}{2}.$

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0.$

Nếu $\left|f\left(1\right)\right|<f\left(3\right)\iff 2m-5<55-2m\iff m<15$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=f\left(3\right)=55-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m\ge 10\iff m\le \frac{45}{2}.$ Kết hợp m < 15 suy ra m < 15 (*)

Nếu $\left|f\left(1\right)\right|\ge f\left(3\right)\iff 2m-5\ge 55-2m\iff m\ge 15$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(1\right)\right|=2m-5$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2m-5\ge 10\iff m\ge \frac{15}{2}.$ Kết hợp $m\ge 15$ suy ra $m\ge 15$ (**)

Kết hợp (*) và (**) với $\frac{5}{2}<m<\frac{55}{2}$ có $\frac{5}{2}<m<\frac{55}{2}\left(2\right)$

+) Trường hợp 3: $f\left(1\right)\ge 0\iff 5-2m\ge 0\iff m\le \frac{5}{2}.$

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=f\left(3\right)=55-2m$ và $\underset{\left[1;3\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=f\left(1\right)=5-2m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55-2m+5-2m\ge 10\iff m\le \frac{25}{2}.$

Kết hợp $m\le \frac{5}{2}$ có $m\le \frac{5}{2}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tập $S=ℝ.$

Vậy số các giá trị nguyên của S trong đoạn [-30; 30] là 61.