Câu hỏi:

12/07/2024 2,657

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ - 2 x + y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ .

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho ?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y – 3 ≤ 0 :

Lấy điểm O(0 ; 0) không thuộc đường thẳng màu đỏ : x + y – 3 = 0, ta có : 0 + 0 – 3 = -3 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y – 3 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng x + y – 3 = 0 và chứa gốc tọa tộ O (là phần không gạch chéo đỏ trong hình 1).

+ Xét miền nghiệm của bất phương trình -2x + y + 3 ≥ 0:

Lấy điểm O(0 ; 0) không thuộc đường thẳng màu xanh: -2x + y + 3 = 0, ta có : -2.0 + 0 + 3 = 3 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình -2x + y + 3 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng -2x + y + 3 = 0 và chứa gốc tọa độ O (là phần không gạch chéo xanh trong hình 1).

Vậy miền không gạch chéo (kể cả bờ) trong Hình 1 là miền biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ $\{\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ - 2 x + y + 3 \geq 0 \end{matrix}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là số lít nước cam loại A và y là số lít nước cam loại B có thể pha chế được.

- Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Để pha chế x lít nước cam loại A cần 30x gam đường, x lít nước và x gam bột cam.

Để pha chế y lít nước cam loại B cần 10y gam đường, y lít nước và 4y gam bột cam.

Tổng số đường cần dùng là: 30x + 10y (g); tổng số nước cần dùng là x + y (l) ; tổng số bột cam cần dùng là: x + 4y (gam).

- Do chỉ có 210 gam đường nên ta có bất phương trình: 30x + 10y ≤ 210, hay 3x + y ≤ 21.

- Do chỉ có 9 l nước nên ta có bất phương trình: x + y ≤ 9.

- Do chỉ có 24 gam bột cam nên ta có bất phương trình: x + 4y ≤ 24

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x và y là: $\{\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3 x + y \leq 21 \\ \begin{array}{l} x + y \leq 9 \\ x + 4 y \leq 24 \end{array} \end{matrix}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được hình 4.

Media VietJack

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không tô màu (ngũ giác OABCD bao gồm cả các cạnh).

Tọa độ các đỉnh của ngũ giác đó là: O(0; 0); A (0; 6); B(4; 5); C(6; 3); D (7; 0).

Gọi F là doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của việc bán x lít nước cam loại A và y lít nước cam loại B.

Vì mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng nên x lít nước cam loại A bán được 60x (nghìn đồng). Mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng nên y lít nước cam loại B bán được 80y (nghìn đồng).

Tổng số tiền thu được là 60x + 80y (nghìn đồng)

Vì vậy, ta có: F(x ; y) = 60x + 80y.

Ta phải tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = 60x + 80y trên miền ngũ giác OABCD.

Tính các giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác, ta có :

Tại O(0 ; 0) : F = 60.0 + 80.0 = 0 ;

Tại A(0 ; 6) : F = 60.0 + 80.6 = 480 ;

Tại B(4 ; 5) : F = 60.4 + 80.5 = 640 ;

Tại C(6 ; 3) : F = 60.6 + 80.3 = 600 ;

Tại D(7 ; 0) : F = 60.7 + 80.0 = 420 ;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 tại B(4 ; 5).

Vậy để có doanh thu cao nhất thì người đó nên pha chế 4 lít nước cam loại A và 5 lít nước cam loại B.

Câu 2

Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân bằng tay để bàn trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (tấm), y (tấm) lần lượt là số thiệp loại nhỏ và số thiệp loại lớn mà bạn học sinh đó vẽ.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Học sinh này phải vẽ ít nhất 12 tấm nên ta có bất phương trình x + y ≥ 12.

Số giờ cần để làm x tấm thiệp nhỏ là : 2x (giờ).

Số giờ cần để làm y tấm thiệp lớn là : 3y (giờ).

Tổng số giờ để vẽ x tấm thiệp nhỏ và y tấm thiệp lớn là : 2x + 3y (giờ).

Vì học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ nên ta có bất phương trình : 2x + 3y ≤ 30.

Vậy ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \geq 12 \\ 2 x + 3 y \leq 30 \end{cases}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Media VietJack

Vậy, miền không tô màu (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình sau là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Tọa độ các đỉnh của tam giác đó là : A (15; 0); B(6; 6); C(12; 0).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) của việc bán x tấm thiệp nhỏ và y tấm thiệp lớn.

Số tiền thu được từ x tấm thiệp nhỏ là : 10x (nghìn đồng).

Số tiền thu được từ y tấm thiệp lớn là : 20y (nghìn đồng).

Tổng số tiền thu được là : 10x + 20y (nghìn đồng).

Vậy F =10x + 20y (nghìn đồng).

Ta phải tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F =10x + 20y trên miền tam giác ABC.

Tính các giá trị của F tại các đỉnh của tam giác, ta có :

Tại A(15 ; 0): F = 10.15 + 20.0 = 150 ;

Tại B(6 ; 6): F = 10.6 + 20.6 = 180 ;

Tại C(12 ; 0): F = 10.12 + 20.0 = 120 ;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại B(6 ; 6).

Vậy để có được nhiều tiền nhất bạn ấy cần vẽ 6 tấm thiệp nhỏ và 6 tấm thiệp lớn.

Câu 3