Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) $\frac{x+6}{5}-\frac{x-2}{3}<2$;

c) $\frac{x-2}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{2(x-11)}{x^2-4}$

a) Xét DABC và DHBA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}={90}^o$ 

 chung

Do đó DABC  DHBA (g.g).

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

Xét DABH và DCAH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^o$ (vì $AH\perp BC$).

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CAH}$).

Do đó DABH DCAH (g.g).

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào DABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm).

Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}$ (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

d) Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$ (cm).

Do đó: HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Xét DACD và DHCE có:

$\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$

${\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2$ (vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$)

Do đó DACD 

Suy ra $\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}={\left(\frac{AC}{HC}\right)}^2={\left(\frac{8}{\mathrm{6,4}}\right)}^2=\frac{25}{16}$.

Ta có:  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\iff \frac{xy+yz+xz}{xyz}=0$.

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x² + 2yz = x² + yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y² + 2xz = (y – x)(y – z);

z² + 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}$

$=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{xz}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xz(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)+xz(y-z)+xz(x-y)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(y-z)(xz-yz)+(x-y)(xz-xy)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{z(x-y)(y-z)-x(x-y)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=1$.

Vậy $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=1$.