Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn 1x+1y+1z=0. Tính giá trị của biểu thức: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy.

Ta có: 1x+1y+1z=0⇔xy+yz+xzxyz=0. Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0. Nên: xy + yz + xz = 0 Û yz = – xy – xz. Ta có: x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z). Tương tự: y2 + 2xz = (y – x)(y – z); z2 + 2xy = (z – x)(z – y). Do đó: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy =yz(x−y)(x−z)+xz(y−x)(y−z)+xy(z−x)(z−y) =−yz(y−z)(x−y)(y−z)(z−x)−xz(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =−yz(y−z)−xz(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =−yz(y−z)+xz(y−z)+xz(x−y)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =(y−z)(xz−yz)+(x−y)(xz−xy)(x−y)(y−z)(z−x) =z(x−y)(y−z)−x(x−y)(y−z)(x−y)(y−z)(z−x) =(x−y)(y−z)(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)=1. Vậy A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy=1.

Câu hỏi:

13/07/2024 10,752

Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.$ Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Leftrightarrow \frac{x y + y z + x z}{x y z} = 0$ .

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x²+ 2yz = x²+ yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y²+ 2xz = (y – x)(y – z);

z²+ 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$

$= \frac{y z}{(x - y) (x - z)} + \frac{x z}{(y - x) (y - z)} + \frac{x y}{(z - x) (z - y)}$

$= \frac{- y z (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)} - \frac{x z (z - x)}{(x - y) (y - z) (z - x)} - \frac{x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{- y z (y - z) - x z (z - x) - x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{- y z (y - z) + x z (y - z) + x z (x - y) - x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{(y - z) (x z - y z) + (x - y) (x z - x y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{z (x - y) (y - z) - x (x - y) (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{(x - y) (y - z) (z - x)}{(x - y) (y - z) (z - x)} = 1$ .

Vậy $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y} = 1$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Sổ tay Toán 8 (Takenote) Bản 2025

Đã bán 212

₫ 60.000 ₫ 30.000

Hà Nội

Trọng tâm Văn - Sử - Địa - GDCD lớp 8 (chương trình mới)

Đã bán 123

₫ 130.000 ₫ 60.000

Hà Nội

Trọng tâm Văn - Sử - Địa - GDCD và Toán - Anh - KHTN lớp 8 (chương trình mới)

Đã bán 287

₫ 230.000 ₫ 120.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DHBA.

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

c) Tính độ dài các cạnh BC, AH.

d) Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,519

Câu 2:

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông theo các kích thước ở hình sau:

Xem đáp án » 13/07/2024 585

Câu 3:

Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường, bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút.

Xem đáp án » 13/07/2024 486

Câu 4:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) $\frac{x + 6}{5} - \frac{x - 2}{3} < 2$ ;

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$

Xem đáp án » 13/07/2024 348

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn 1x+1y+1z=0. Tính giá trị của biểu thức: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy.

Bình luận

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông theo các kích thước ở hình sau:

Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) |x + 5| = 3x + 1; b) x+65−x−23<2; c) x−2x+2−3x−2=2(x−11)x2−4

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.$ Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$ .

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) $\frac{x + 6}{5} - \frac{x - 2}{3} < 2$ ;

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$