Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn 1x+1y+1z=0. Tính giá trị của biểu thức: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy.

Ta có: 1x+1y+1z=0⇔xy+yz+xzxyz=0. Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0. Nên: xy + yz + xz = 0 Û yz = – xy – xz. Ta có: x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z). Tương tự: y2 + 2xz = (y – x)(y – z); z2 + 2xy = (z – x)(z – y). Do đó: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy =yz(x−y)(x−z)+xz(y−x)(y−z)+xy(z−x)(z−y) =−yz(y−z)(x−y)(y−z)(z−x)−xz(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =−yz(y−z)−xz(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =−yz(y−z)+xz(y−z)+xz(x−y)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x) =(y−z)(xz−yz)+(x−y)(xz−xy)(x−y)(y−z)(z−x) =z(x−y)(y−z)−x(x−y)(y−z)(x−y)(y−z)(z−x) =(x−y)(y−z)(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)=1. Vậy A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy=1.

Câu hỏi:

19/08/2025 17,640

Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.$ Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Leftrightarrow \frac{x y + y z + x z}{x y z} = 0$ .

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x²+ 2yz = x²+ yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y²+ 2xz = (y – x)(y – z);

z²+ 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$

$= \frac{y z}{(x - y) (x - z)} + \frac{x z}{(y - x) (y - z)} + \frac{x y}{(z - x) (z - y)}$

$= \frac{- y z (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)} - \frac{x z (z - x)}{(x - y) (y - z) (z - x)} - \frac{x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{- y z (y - z) - x z (z - x) - x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{- y z (y - z) + x z (y - z) + x z (x - y) - x y (x - y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{(y - z) (x z - y z) + (x - y) (x z - x y)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{z (x - y) (y - z) - x (x - y) (y - z)}{(x - y) (y - z) (z - x)}$

$= \frac{(x - y) (y - z) (z - x)}{(x - y) (y - z) (z - x)} = 1$ .

Vậy $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y} = 1$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DHBA.

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

c) Tính độ dài các cạnh BC, AH.

d) Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH. a) Chứng minh: ABC đồng dạng với HBA. b) Chứng minh: AH2 = HB . HC. c) Tính độ dài các cạnh BC, AH. d) Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE. (ảnh 1)

a) Xét DABC và DHBA có:

$\hat{B A C} = \hat{A H B} = 90^{o}$

chung

Do đó DABC DHBA (g.g).

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

Xét DABH và DCAH có:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{o}$ (vì $A H ⊥ B C$ ).

$\hat{B A H} = \hat{A C H}$ (cùng phụ $\hat{C A H}$ ).

Do đó DABH DCAH (g.g).

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào DABC vuông tại A, ta có:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ (cm).

Từ câu a: DABC DHBA nên: $\frac{A C}{H A} = \frac{B C}{B A}$ .

Suy ra: $H B = \frac{A B^{2}}{B C} = \frac{6^{2}}{10} = 3,6$ (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

d) Từ câu a: DABC DHBA nên: $\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A}$ .

Suy ra: $\hat{C A D} = \hat{A H C} = 90^{o}$ (cm).

Do đó: HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Xét DACD và DHCE có:

$\hat{C A D} = \hat{A H C} = 90^{o}$

${\hat{C}}_{1} = {\hat{C}}_{2}$ (vì CD là tia phân giác của $\hat{A C B}$ )

Do đó DACD

Suy ra $\frac{S_{A C D}}{S_{H C E}} = {(\frac{A C}{H C})}^{2} = {(\frac{8}{6,4})}^{2} = \frac{25}{16}$ .

Câu 2

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông theo các kích thước ở hình sau:

Xem đáp án

Lời giải

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông theo các kích thước ở hình sau: (ảnh 2)

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.

Suy ra: BC = 10 cm.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

S_xq = (6 + 8 + 10) . 15 = 360 (cm²).

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:

$S_{đ} = \frac{1}{2} . 6 . 8 = 24$ (cm²).

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

S_tp = S_xq + S_2đ = 360 + 2 . 24 = 408 (cm²).

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:

V = S_đ . h = 24 . 15 = 360 (cm³).

Vậy hình lăng trụ đứng có diện tích toàn phần là 360 cm² và thể tích là 360 cm³.

Câu 3

Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường, bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) $\frac{x + 6}{5} - \frac{x - 2}{3} < 2$ ;

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.$ Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{y z}{x^{2} + 2 y z} + \frac{x z}{y^{2} + 2 x z} + \frac{x y}{z^{2} + 2 x y}$ .

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) $\frac{x + 6}{5} - \frac{x - 2}{3} < 2$ ;

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$