Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$quãng đường, bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút.

a) Xét DABC và DHBA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}={90}^o$ 

 chung

Do đó DABC  DHBA (g.g).

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

Xét DABH và DCAH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^o$ (vì $AH\perp BC$).

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CAH}$).

Do đó DABH DCAH (g.g).

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào DABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm).

Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $HB=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\mathrm{3,6}$ (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

d) Từ câu a: DABC  DHBA nên: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$.

Suy ra: $\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$ (cm).

Do đó: HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Xét DACD và DHCE có:

$\widehat{CAD}=\widehat{AHC}={90}^o$

${\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2$ (vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$)

Do đó DACD 

Suy ra $\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}={\left(\frac{AC}{HC}\right)}^2={\left(\frac{8}{\mathrm{6,4}}\right)}^2=\frac{25}{16}$.

Ta có:  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\iff \frac{xy+yz+xz}{xyz}=0$.

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x² + 2yz = x² + yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y² + 2xz = (y – x)(y – z);

z² + 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}$

$=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{xz}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xz(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)+xz(y-z)+xz(x-y)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(y-z)(xz-yz)+(x-y)(xz-xy)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{z(x-y)(y-z)-x(x-y)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=1$.

Vậy $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=1$.