Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh: DABC đồng dạng với DHBA.

b) Chứng minh: AH² = HB . HC.

c) Tính độ dài các cạnh BC, AH.

d) Phân giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và HCE.

Ta có:  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\iff \frac{xy+yz+xz}{xyz}=0$.

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Û yz = – xy – xz.

Ta có: x² + 2yz = x² + yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y² + 2xz = (y – x)(y – z);

z² + 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}$

$=\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{xz}{(y-x)(y-z)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xz(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}-\frac{xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{-yz(y-z)+xz(y-z)+xz(x-y)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(y-z)(xz-yz)+(x-y)(xz-xy)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{z(x-y)(y-z)-x(x-y)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=1$.

Vậy $A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=1$.

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.

Suy ra: BC = 10 cm.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

S_xq = (6 + 8 + 10) . 15 = 360 (cm²).

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là:

$S_{đ}=\frac{1}{2}.6.8=24$ (cm²).

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

S_tp = S_xq + S_2đ = 360 + 2 . 24 = 408 (cm²).

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:

V = S_đ . h = 24 . 15 = 360 (cm³).

Vậy hình lăng trụ đứng có diện tích toàn phần là 360 cm² và thể tích là 360 cm³.