Cho tam giác ABC vuông tại A, \[\widehat B = {60^o}\], AB = 5cm. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E.

a) Chứng minh: ∆ADB = ∆BDE.

b) Chứng minh tam giác AEB là tam giác đều.

c) Tính BC.

a) Xét ∆ABD vuông tại A và ∆BDE vuông tại E có:

BD cạnh chung.

\[\widehat {ABD} = \widehat {DBE} = {30^o}\](BD là phân giác góc B)

Do đó ∆ADB = ∆BDE (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ câu a: ∆ADB = ∆BDE suy ra AB = BE.

Xét ∆ABE có AB = BE, \(\widehat B = {60^o}\).

Vậy ∆ABE là tam giác đều.

c) Ta có ∆ABE là tam giác đều (câu b)

Suy ra AB = BE = AE = 5 cm   (*)

Do đó \[\widehat {BAE} = \widehat {ABE} = {60^o}\]

Mặt khác \[\widehat {BAC} = {90^o}\]

\[ \Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAE} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\] (1)

Áp dụng định lý tổng ba góc của một tam giác vào ∆ABC, ta có:

\[\widehat {ABC} + \widehat {BCA} + \widehat {BAC} = {180^o}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BCA} = {180^o} - \widehat {ABC} - \widehat {BAC}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BCA} = {180^o} - {60^o} - {90^o} = {30^o}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {EAC} = \widehat {BCA}\] nên ∆AEC cân tại E.

Suy ra AC = EC = 5 cm   (**)

Từ (*) và (**) suy ra BC = BE + EC = 5 + 5 = 10 (cm).

Vậy BC = 10 cm.