Cho ΔABC cân tại A, AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm. Kẻ AH\[ \bot \]BC (H\( \in \)BC).

a) Chứng minh HB = HC.

b) Tính AH.

c) Kẻ HD\[ \bot \]AB (D\( \in \)AB); HE\[ \bot \]AC (E\( \in \)AC). Chứng minh: ΔHDE là tam giác cân.

a) Xét ∆ABH và ∆ACH có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^o}\)

AB = AC = 5 cm

Cạnh AH chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a: BH = CH suy ra \(BH = \frac{{BC}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,\,(cm)\).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆AHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH²

\( \Rightarrow \) AH² = AB² − BH² = 5² − 4² = 25 – 16 = 9.

Do đó \(AH = \sqrt 9 = 3\,\,(cm)\)

c) Xét ∆DBH và ∆ECH có:

\(\widehat B = \widehat C\) (vì ∆ABC cân tại A)

BH = CH (cmt)

\(\widehat {BDH} = \widehat {HEC} = {90^o}\)

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DH = EH (hai cạnh tương ứng).

Vậy ∆DHE cân tại H.