Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 3 cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC tại M, cắt tia BA tại N.

a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC.

b) Chứng minh MA = MD và tam giác MNC cân.

c) Gọi I là trung điểm của CN. Chứng minh ba điểm B, M, I thẳng hàng.

a) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ 3² + AC² = 5²

$\Rightarrow$ AC² = 25 - 9

$\Rightarrow$ AC² = 16

$\Rightarrow$ AC = 4 cm.

$\Delta ABC$ vuông tại A nên $\widehat{BAC}$ là góc lớn nhất trong $\Delta ABC.$

AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$.

Vậy $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}<\widehat{BAC}.$

b) Xét $\Delta ABM$ vuông tại A và $\Delta DBM$ vuông tại D có:

AB = BD (theo giả thiết)

BM chung.

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DBM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ MA = MD (2 cạnh tương ứng).

Xét $\Delta AMN$ vuông tại A và $\Delta DMC$ cân tại D có:

AM = DM (chứng minh trên).

$\widehat{AMN}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \Delta AMN=\Delta DMC$ (góc nhọn - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ MN = MC (2 cạnh tương ứng).

$\Delta MNC$ có MN = MC nên $MI\perp NC$ cân tại M.

c) Xét $\Delta BCN$ có $CA\perp BN;$ $N\text{D}\perp BC$.

Mà CA cắt ND tại M nên M là trực tâm của $\Delta BCN$.

Do đó $BM\perp NC$(1).

$\Delta MNC$ cân tại M, lại có I là trung điểm của NC nên $MI\perp NC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra B, M, I thẳng hàng.