Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

A = 3x + 2\(\sqrt x \) + 1;

B = – 5x⁴ + 3x² + 4;

C = \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\);

D = \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\).

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11.

Lại có hệ số a = 1 > 0.

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì ∆ < 0.

⇔ m² – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m₁ = \(3 - \sqrt {20} = 3 - 2\sqrt 5 \) và m₂ = \(3 + \sqrt {20} = 3 + 2\sqrt 5 \).

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, h(m) < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Hay ∆ < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Vậy m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\) thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Độ cao của vật so với mặt đất được mô tả bởi công thức

h(t) = h₀ + v₀t – $\frac{1}{2}$gt²,

trong đó v0 = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây, g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 9,8 m/s2) và độ cao h(t) tính bằng mét. 

Khi đó ta có: h(t) = 320 + 20t – $\frac{1}{2}$ . 9,8 . t² hay h(t) = –  4,9t² + 20t + 320, đây là một hàm số bậc hai. 

Vật cách mặt đất không quá 100 m khi và chỉ khi h(t) ≤ 100, tức là – 4,9t² + 20t + 320 ≤ 100 hay tương đương 4,9t² – 20t – 220 ≥ 0 (1).

Xét tam thức f(t) = 4,9t² – 20t – 220 có ∆' = (– 10)² – 4,9 . (– 220) = 1 178 > 0 nên f(t) có hai nghiệm $t_1=\frac{10-\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$ và $t_2=\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$.

Mà hệ số af = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(t):

Suy ra bất phương trình (1) có nghiệm t ≤ $\frac{10-\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$ hoặc t ≥ $\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$.

Mà thời gian t > 0 nên t ≥ $\frac{10+\sqrt{1178}}{\mathrm{4,9}}$≈ 9,05.

Vậy sau ít nhất khoảng 9,05 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.