Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể?

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11.

Lại có hệ số a = 1 > 0.

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì ∆ < 0.

⇔ m² – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m₁ = \(3 - \sqrt {20} = 3 - 2\sqrt 5 \) và m₂ = \(3 + \sqrt {20} = 3 + 2\sqrt 5 \).

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, h(m) < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Hay ∆ < 0 với mọi m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\).

Vậy m \( \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)\) thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = x² – 1 có ∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).

b) Tam thức f(x) = x² – 2x – 1 có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = 1 \( - \sqrt 2 \) và x₂ = 1 + \(\sqrt 2 \).

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$

c) Tam thức f(x) = – 3x² + 12x + 1 có ∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}\) và \({x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\).

Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \infty ;\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)\).

d) Tam thức f(x) = 5x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\).