Giải các bất phương trình bậc hai: a) x2 – 1 ≥ 0; b) x2 – 2x – 1 < 0; c) – 3x2 + 12x + 1 ≤ 0; d) 5x2 + x + 1 ≥ 0.

Hướng dẫn giải a) Tam thức f(x) = x2 – 1 có ∆ = 02 – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = – 1 và x2 = 1. Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: x – ∞ – 1 1 + ∞ f(x) + 0 – 0 + Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞). b) Tam thức f(x) = x2 – 2x – 1 có ∆' = (– 1)2 – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = 1 ( - sqrt 2 ) và x2 = 1 + ( sqrt 2 ). Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: x – ∞ 1 ( - sqrt 2 ) 1 + [ sqrt 2 ] + ∞ f(x) + 0 – 0 + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 1−2; 1+2 c) Tam thức f(x) = – 3x2 + 12x + 1 có ∆' = 62 – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm ({x_1} = frac{{6 - sqrt {39} }}{3} ) và ({x_2} = frac{{6 + sqrt {39} }}{3} ). Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: x – ∞ ( frac{{6 - sqrt {39} }}{3} ) ( frac{{6 + sqrt {39} }}{3} ) + ∞ f(x) – 0 + 0 – Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( left( { - infty ; frac{{6 - sqrt {39} }}{3}} right] cup left[ { frac{{6 + sqrt {39} }}{3}; + infty } right) ). d) Tam thức f(x) = 5x2 + x + 1 có ∆ = 12 – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi (x in mathbb{R} ). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( mathbb{R} ).

Câu hỏi:

13/07/2024 34,183

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) x² – 1 ≥ 0;

b) x² – 2x – 1 < 0;

c) – 3x² + 12x + 1 ≤ 0;

d) 5x² + x + 1 ≥ 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = x² – 1 có ∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞ – 1 1 + ∞
f(x)	+ 0 – 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).

b) Tam thức f(x) = x² – 2x – 1 có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = 1 $ - \sqrt 2 $ và x₂ = 1 + $\sqrt 2 $.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞ 1 $ - \sqrt 2 $ 1 + \[\sqrt 2 \] + ∞
f(x)	+ 0 – 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$

c) Tam thức f(x) = – 3x² + 12x + 1 có ∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}$ và ${x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}$.

Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞ $\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}$ $\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}$ + ∞
f(x)	– 0 + 0 –

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( { - \infty ;\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)$.

d) Tam thức f(x) = 5x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:

x² + (m + 1)x + 2m + 3.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11.

Lại có hệ số a = 1 > 0.

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì ∆ < 0.

⇔ m² – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m₁ = $3 - \sqrt {20} = 3 - 2\sqrt 5 $ và m₂ = $3 + \sqrt {20} = 3 + 2\sqrt 5 $.

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

m	– ∞ $3 - 2\sqrt 5 $ $3 + 2\sqrt 5 $ + ∞
h(m)	+ 0 – 0 +

Do đó, h(m) < 0 với mọi m $ \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)$.

Hay ∆ < 0 với mọi m $ \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)$.

Vậy m $ \in \left( {3 - 2\sqrt 5 ;\,3 + 2\sqrt 5 } \right)$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Câu 2

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể?

Xem đáp án

Lời giải

Độ cao của vật so với mặt đất được mô tả bởi công thức

h(t) = h₀ + v₀t – $\frac{1}{2}$ gt²,

trong đó v0 = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây, g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 9,8 m/s2) và độ cao h(t) tính bằng mét.

Khi đó ta có: h(t) = 320 + 20t – $\frac{1}{2}$ . 9,8 . t² hay h(t) = – 4,9t² + 20t + 320, đây là một hàm số bậc hai.

Vật cách mặt đất không quá 100 m khi và chỉ khi h(t) ≤ 100, tức là – 4,9t² + 20t + 320 ≤ 100 hay tương đương 4,9t² – 20t – 220 ≥ 0 (1).

Xét tam thức f(t) = 4,9t² – 20t – 220 có ∆' = (– 10)² – 4,9 . (– 220) = 1 178 > 0 nên f(t) có hai nghiệm $t_{1} = \frac{10 - \sqrt{1178}}{4,9}$ và $t_{2} = \frac{10 + \sqrt{1178}}{4,9}$ .

Mà hệ số af = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(t):

t	– ∞ $\frac{10 - \sqrt{1178}}{4,9}$ $\frac{10 + \sqrt{1178}}{4,9}$ + ∞
f(t)	+ 0 – 0 +

Suy ra bất phương trình (1) có nghiệm t ≤ $\frac{10 - \sqrt{1178}}{4,9}$ hoặc t ≥ $\frac{10 + \sqrt{1178}}{4,9}$ .

Mà thời gian t > 0 nên t ≥ $\frac{10 + \sqrt{1178}}{4,9}$ ≈ 9,05.

Vậy sau ít nhất khoảng 9,05 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.

Câu 3

B. Bài tập

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x² – 4x + 1;

b) x² + 2x + 1;

c) – x² + 3x – 2;

d) – x² + x – 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t) = – 4,9t² + 20t + 1, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) – 5x² + x – 1 ≤ 0;

b) x² – 8x + 16 ≤ 0;

c) x² – x – 6 > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay