Cho f(x)=ax3+bx2+cx+d trong đó a, b, c, d∈ℤ và thỏa mãn b = 3a + c. Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.

Ta có f(1)=a+b+c+d. Suy ra f(1)−f(−2)=9a−3b+3c. Mà b=3a+c suy ra f(1)−f(−2)=9a−33a+c+3c=9a−9a−3c+3c=0 ⇒f(1)=f(−2). Suy ra f(1).f(−2)=f(1)2=a+b+c+d2. Mà a, b, c, d∈ℤ nên a+b+c+d∈ℤ hay a+b+c+d2 là bình phương của một số nguyên. Suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

13/07/2024 426

Cho $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ trong đó $a, b, c, d \in ℤ$ và thỏa mãn b = 3a + c. Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi Học kì 2 Toán 7 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Đề ĐGNL Hà Nội Đề ĐGNL Tp.Hồ Chí Minh Đề ĐGTD Bách Khoa HN

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $f (1) = a + b + c + d .$

Suy ra $f (1) - f (- 2) = 9 a - 3 b + 3 c .$

Mà $b = 3 a + c$ suy ra $f (1) - f (- 2) = 9 a - 3 (3 a + c) + 3 c = 9 a - 9 a - 3 c + 3 c = 0$

$\Rightarrow f (1) = f (- 2) .$

Suy ra $f (1) . f (- 2) = {[f (1)]}^{2} = {(a + b + c + d)}^{2} .$

Mà

a, b, c, d \in ℤ

nên

a + b + c + d \in ℤ

hay

{(a + b + c + d)}^{2}

là bình phương của một số nguyên. Suy ra điều phải chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Vẽ tia phân giác BD của góc ABC (D thuộc AC), từ D vẽ DE ^ BC (E Î BC).

Chứng minh DA = DE.

c) Kéo dài ED và BA cắt nhau tại F. Chứng minh DF > DE.

d) Chứng minh đường thẳng BD là đường trung trực của đoạn thẳng FC.

Xem đáp án » 13/07/2024 675

Câu 2:

Cho hai đa thức

$f (x) = - {2x}^{2} - {3x}^{3} - 5x + {5x}^{3} - x + x^{2} + 4x + 3 + {4x}^{2}$

$g (x) = {2x}^{2} - x^{3} + 3x + {3x}^{3} + x^{2} - x - 9x + 2.$

a) Tìm $h (x) = f (x) - g (x)$

b) Tìm nghiệm của đa thức h(x).

Xem đáp án » 13/07/2024 335

Câu 3:

a) Tìm $x \in ℝ$ , biết $|\frac{1}{4} + x| = \frac{5}{6}$

b) Tính giá trị của biểu thức $A = {5x}^{2} - 3x - 16$ khi x = 2

c) Cho đơn thức $A = 4 x^{2} y^{2} {(- 2 x^{3} y^{2})}^{2}$ . Hãy thu gọn và chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A.

Xem đáp án » 13/07/2024 245

Câu 4:

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{- 18}{24} + \frac{15}{- 21}$

b) $9 - 3, 6 - 4, 1 - (- 1, 3)$

Xem đáp án » 13/07/2024 238

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ trong đó $a, b, c, d \in ℤ$ và thỏa mãn b = 3a + c. Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.

Nhà sách VIETJACK:

Cho hai đa thức

$f (x) = - {2x}^{2} - {3x}^{3} - 5x + {5x}^{3} - x + x^{2} + 4x + 3 + {4x}^{2}$

$g (x) = {2x}^{2} - x^{3} + 3x + {3x}^{3} + x^{2} - x - 9x + 2.$

a) Tìm $h (x) = f (x) - g (x)$

b) Tìm nghiệm của đa thức h(x).

a) Tìm $x \in ℝ$ , biết $|\frac{1}{4} + x| = \frac{5}{6}$

b) Tính giá trị của biểu thức $A = {5x}^{2} - 3x - 16$ khi x = 2

c) Cho đơn thức $A = 4 x^{2} y^{2} {(- 2 x^{3} y^{2})}^{2}$ . Hãy thu gọn và chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A.

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{- 18}{24} + \frac{15}{- 21}$

b) $9 - 3, 6 - 4, 1 - (- 1, 3)$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho f(x)=ax3+bx2+cx+d trong đó a, b, c, d∈ℤ và thỏa mãn b = 3a + c. Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.

Nhà sách VIETJACK:

Cho hai đa thức fx = −2x2− 3x3− 5x + 5x3− x + x2+ 4x + 3 + 4x2 gx = 2x2− x3+ 3x + 3x3+ x2− x − 9x + 2. a) Tìm hx = fx − gx b) Tìm nghiệm của đa thức h(x).

a) Tìm x∈ℝ , biết 14+x=56 b) Tính giá trị của biểu thức A = 5x2– 3x – 16 khi x = 2 c) Cho đơn thức A=4x2y2−2x3y22. Hãy thu gọn và chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A.

Thực hiện các phép tính sau: a) −1824+15−21 b) 9−3,6−4,1−−1,3

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ trong đó $a, b, c, d \in ℤ$ và thỏa mãn b = 3a + c. Chứng minh rằng f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.

Cho hai đa thức

$f (x) = - {2x}^{2} - {3x}^{3} - 5x + {5x}^{3} - x + x^{2} + 4x + 3 + {4x}^{2}$

$g (x) = {2x}^{2} - x^{3} + 3x + {3x}^{3} + x^{2} - x - 9x + 2.$

a) Tìm $h (x) = f (x) - g (x)$

b) Tìm nghiệm của đa thức h(x).

a) Tìm $x \in ℝ$ , biết $|\frac{1}{4} + x| = \frac{5}{6}$

b) Tính giá trị của biểu thức $A = {5x}^{2} - 3x - 16$ khi x = 2

c) Cho đơn thức $A = 4 x^{2} y^{2} {(- 2 x^{3} y^{2})}^{2}$ . Hãy thu gọn và chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A.

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{- 18}{24} + \frac{15}{- 21}$

b) $9 - 3, 6 - 4, 1 - (- 1, 3)$