Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30⁰. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Tam giác ABC đều cạnh aa, H là trọng tâm tam giác nên \[BH = \frac{2}{3}BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow HD = BD - BH = a\sqrt 3 - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\]

Xác định\[{30^0} = \widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH}\] và\[SH = HD.\tan \widehat {SDH} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a}}{3}\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{BH \cap \left( {SCD} \right) = D \Rightarrow \frac{{d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{3}{2}}\\{ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}\end{array}\]

Ta có\[HC \bot AB \Rightarrow HC \bot CD\]

Kẻ\[HK \bot SC\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot HC}\\{CD \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SHC) \Rightarrow CD \bot HK(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\]

Tam giác vuông SHC, có

\[HK = \frac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{\frac{{2a}}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\]

Vậy\[d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\]

Đáp án cần chọn là: B