Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 4}}{{x + 2m}}\] (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]?

Đáp án D

Ta có: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2m} \right\}\) và \(f'\left( x \right) = \frac{{2m\left( {m + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 2m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = \frac{{2m\left( {m + 1} \right) - 4}}{{{{(x + 2m)}^2}}} < 0,{\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)}\\{ - 2m \notin \left( {0; + \infty } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 1}\\{ - 2m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 1}\\{m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\) là giá trị cần tìm. Vậy có 1 giá trị nguyên duy nhất.