Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2x-y=2\end{array}$

a) Giải hệ phương trình với m = 5.

b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x + y =12.

a. Do (d) đi qua A(0; 2) ta có: 2 = 0.a + b Û b = 2

(d) cũng qua B(1; 3) ta có:

1.a + b = 3

Û a = 3 – b = 3 – 2 = 1.

Vậy (d) có dạng y = x + 2.

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = x + 2

Û x² – x – 2 = 0

Û x² – 2x + x – 2 = 0

Û x(x – 2) + (x – 2) = 0

Û (x – 2)(x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l}\text{x}=2\\ \text{x}=-1\end{array}$

• Với x = 2 thì y = x + 2 = 2 + 2= 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là C(2; 4).

• Với x = –1 thì y = x + 2 = –1 + 2 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là D(–1; 1).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là C(2; 4) và D(–1; 1).

a) Ta có: $\widehat{AMB}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB suy ra $\widehat{DMA}$= 90°

Ta cũng có $\widehat{DCA}$= 90° ( DC ⊥ AB).

Xét tứ giác ADMC có: $\widehat{AMB}$ = 90° và $\widehat{DCA}$= 90°

Do đó tứ giác ADMC nội tiếp.

Vậy các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\widehat{KAC}=\widehat{CDB}$(tứ giác ADMC nội tiếp)

$\widehat{ACK}=\widehat{DCB}$= 90° (DC ⊥ AB)

Suy ra ∆ACK đồng dạng ∆DCB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CD}\text{=}\frac{CK}{CB}\iff$ CK.CD = CA.CB (đpcm)

c) Xét tam giác DAB có:

AM ⊥ DB (chứng minh trên)

DC ⊥ AB (giả thiết)

Mà DC cắt AM tại K

Suy ra K là giao điểm của hai đường cao trong tam giác DAB suy ra K là trực tâm của tam giác DAB

Ta cũng có $\widehat{ANB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra BN ⊥ AD

Suy ra BN cũng là đường cao của tam giác DAC suy ra BN đi qua K

Dẫn đến 3 điểm B, N, K thẳng hàng.