Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)_đề 2

a. Với m = 5 ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}5x+y=5\\ 2x-y=2\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}5x+y=5\\ 2x-2=y\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}5x+2x-2=5\\ 2x-2=y\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}7x=7\\ y=2x-2\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là (1; 0).

b. Gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình nên ta có 2x₀ – y₀ = 2

Và (x₀; y₀) cũng thỏa mãn x₀ + y₀ = 12 nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x_0-y_0=2\\ x_0+y_0=12\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}2x_0-2=y_0\\ x_0+y_0=12\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}{y}_0=2x_0-2\\ x_0+2x_0-2=12\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}{y}_0=2x_0-2\\ 3x_0=14\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{14}{3}\\ y_0=\frac{22}{3}\end{array}$

Thay cặp nghiệm vào phương trình chứa m của hệ ta được:

$\frac{14}{3}m+\frac{22}{3}=5$

$\iff \frac{14}{3}m=5-\frac{22}{3}$

$\iff \frac{14}{3}m=\frac{-7}{3}$

$\iff m=-\frac{1}{2}$

Vậy m = $-\frac{1}{2}$ thỏa mãn bài toán.

a. Do (d) đi qua A(0; 2) ta có: 2 = 0.a + b Û b = 2

(d) cũng qua B(1; 3) ta có:

1.a + b = 3

Û a = 3 – b = 3 – 2 = 1.

Vậy (d) có dạng y = x + 2.

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = x + 2

Û x² – x – 2 = 0

Û x² – 2x + x – 2 = 0

Û x(x – 2) + (x – 2) = 0

Û (x – 2)(x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l}\text{x}=2\\ \text{x}=-1\end{array}$

• Với x = 2 thì y = x + 2 = 2 + 2= 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là C(2; 4).

• Với x = –1 thì y = x + 2 = –1 + 2 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là D(–1; 1).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là C(2; 4) và D(–1; 1).

Gọi x (quyển) là số sách của giá thứ nhất (x ∈ ℕ, 50 < x < 450)

Gọi y (quyển) là số sách của giá thứ hai (x ∈ ℕ, 0 < x < 450)

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có x + y = 450 (1)

Số sách của giá sách thứ nhất sau khi chuyển là x – 50 (quyển)

Số sách của giá sách thứ hai sau khi chuyển là y + 50 (quyển)

Khi đó số sách ở giá thứ hai sẽ bằng $\frac{4}{5}$ số sách còn lại ở giá sách thứ nhất nên ta có:

y + 50 = $\frac{4}{5}(x-50)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}x+y=450\\ y+50=\frac{4}{5}(x-50)\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 5(y+50)=4(x-50)\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 5y+250=4(450-y)-200\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}x=450-y\\ 9y=1350\end{array}$

 Û $\{\begin{array}{l}x=300\\ y=150\end{array}$ (TMĐK)

Vậy số sách của giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển

a) Ta có: $\widehat{AMB}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB suy ra $\widehat{DMA}$= 90°

Ta cũng có $\widehat{DCA}$= 90° ( DC ⊥ AB).

Xét tứ giác ADMC có: $\widehat{AMB}$ = 90° và $\widehat{DCA}$= 90°

Do đó tứ giác ADMC nội tiếp.

Vậy các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\widehat{KAC}=\widehat{CDB}$(tứ giác ADMC nội tiếp)

$\widehat{ACK}=\widehat{DCB}$= 90° (DC ⊥ AB)

Suy ra ∆ACK đồng dạng ∆DCB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CD}\text{=}\frac{CK}{CB}\iff$ CK.CD = CA.CB (đpcm)

c) Xét tam giác DAB có:

AM ⊥ DB (chứng minh trên)

DC ⊥ AB (giả thiết)

Mà DC cắt AM tại K

Suy ra K là giao điểm của hai đường cao trong tam giác DAB suy ra K là trực tâm của tam giác DAB

Ta cũng có $\widehat{ANB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra BN ⊥ AD

Suy ra BN cũng là đường cao của tam giác DAC suy ra BN đi qua K

Dẫn đến 3 điểm B, N, K thẳng hàng.

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z = –34

Û 4x² – 4xy – 4xz + (y² + 2yz + z²) + (y² – 6y + 9) + (z² – 10z +25) = 0

Û (2x)² – 2.2x.(y + z) + (y + z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Û (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Vì (2x – y – z)² ≥ 0; (y – 3)² ≥ 0; (z – 5)² ≥ 0

Nên để (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0 thì:

$\{\begin{array}{l}2x-y-z=0\\ y-3=0\\ z-5=0\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}2x=y+z\\ y=3\\ z=5\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\\ z=5\end{array}$

Thay vào biểu thức M ta được:

(4 – 4)²⁰²⁰ – (3 – 4)²⁰²¹ + (5 – 4)²⁰²² = 0²⁰²⁰ – (–1)²⁰²¹ + 1²⁰²² = 0 + 1 + 1 = 2

Vậy M = (x – 4)²⁰²⁰ – (y – 4)²⁰²¹ + (z – 4)²⁰²² = 2.