Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)

. $B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2}{2 - \sqrt{x}} - \frac{7 \sqrt{x} - 6}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{7 \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{2 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{7 \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x + \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{2 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{7 \sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x + \sqrt{x} - 6 + 2 \sqrt{x} + 4 - 7 \sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}}{\frac{\sqrt{x} - 2}{2 \sqrt{x} + 3}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} : \frac{\sqrt{x} - 2}{2 \sqrt{x} + 3}$

$= \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} . \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$

(điều phải chứng minh)

Ta có: $P = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} = \frac{2 \sqrt{x} + 4 - 1}{\sqrt{x} + 2}$

$\Leftrightarrow P = 2 - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \geq 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy Min P = $\frac{3}{2}$ dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Câu 2/5

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn lúc đầu (0 < x, y < 120)

Nữa chu vi của khu vườn lúc đầu là: x + y = 240 : 2 = 120 (m) (1)

Diện tích khu vườn lúc đầu là: xy (m²)

Chiều dài khu vườn lúc sau là: x + 9 (m)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là: y + 7 (m)

Diện tích khu vườn lúc sau là: (x + 9)(y + 7) (m²)

Do diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m²nên ta có:

(x + 9)(y + 7) – xy = 963 (m²) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 120 \\ (x + 9) (y + 7) - x y = 963 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 120 \\ x y + 7 x + 9 y + 63 - x y = 963 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 7 (120 - y) + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 840 - 7 y + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 2 y = 60 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 90 \\ y = 30 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy chiều dài khu vườn lúc đầu là 90 m và chiều rộng lúc đầu là 30 m.

Câu 3/5

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{y - 2} = 6 \\ \frac{5}{x + 1} - \frac{1}{y - 2} = 3 \end{cases}$ .

2) Cho phương trình: x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

Xem đáp án

Lời giải

) Điều kiện xác định $\{\begin{cases} x + 1 \neq 0 \\ y - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ y \neq 2 \end{cases}$

Đặt $u = \frac{1}{x + 1}, v = \frac{1}{y - 2}$

Hệ phương trình trở thành: $\{\begin{cases} 2 u + 2 v = 6 \\ 5 u - v = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} v = 5 u - 3 \\ 2 u + 2 (5 u - 3) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} v = 5 u - 3 \\ 2 u + 10 u - 6 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} v = 5 u - 3 \\ 12 u = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = 1 \\ v = 2 \end{cases}$

$u = \frac{1}{x + 1} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn)

$v = \frac{1}{y - 2} = 2 \Leftrightarrow y - 2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{5}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là $(0; \frac{5}{2})$ .

a) Khi m = 5 phương trình trở thành

x² −2(5 −1)x + 5² − 3.5 = 0

Û x² −8x + 25 − 15 = 0

Û x² −8x + 10 = 0

Tính ∆ = (−4)² – 1.10 = 16 – 10 = 6 > 0

Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁= $\frac{- (- 4) + \sqrt{6}}{1} = 4 + \sqrt{6}$ ; x₂= $\frac{- (- 4) - \sqrt{6}}{1} = 4 - \sqrt{6}$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = $\{4 + \sqrt{6}; 4 - \sqrt{6}\}$ .

b) x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

Ta có ∆ = [−(m – 1)]² – 1.(m² – 3m)

= m² – 2m + 1 − m²+ 3m = m + 1.

Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ > 0 Û m + 1 > 0 Û m > −1.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thì m > −1.

Câu 4/5

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\hat{C M D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 1)

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 2)

Câu 5/5

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2} \geq \frac{169}{18}$

Xem đáp án

Lời giải

Xét vế trái

${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2}$

$= a^{2} + 2 \frac{a}{b} + \frac{1}{b^{2}} + b^{2} + 2 \frac{b}{a} + \frac{1}{a^{2}} = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} (a^{2} + b^{2})$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [a^{2} + {(3 - a)}^{2}] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} [a^{2} - 2. \frac{3}{2} a + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} {(a - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{65}{18} \geq^{\cos i} 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{a^{2}}{a^{2}}} + 2.2 \sqrt{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} + 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{b^{2}}{b^{2}}} + 0 + \frac{65}{18}$

= $\frac{169}{18}$ (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = $\frac{3}{2}$ .

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán