Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 ( Mới nhất)

$\Leftrightarrow (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \sqrt{3} = 0 \\ x + \sqrt{3} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \{\sqrt{3}; - \sqrt{3}\}$ .

b) 5x² – 8x – 4 = 0

Tính ∆ = (−8)² – 4.(−4).5 = 64 + 80 = 144 > 0.

Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁= $\frac{- (- 8) + \sqrt{144}}{2.5} = 2$ ; x₂= $\frac{- (- 8) - \sqrt{144}}{2.5} = - \frac{2}{5}$ .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = $\{2; - \frac{2}{5}\}$ .

Câu 2: $\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 - 2 y \\ 2 (5 - 2 y) - 5 y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 - 2 y \\ - 9 y = - 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm là (3; 1).

Câu 2/5

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được $\frac{3}{4}$ công việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x là phần công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ (x > 0)

y là phần công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ (y > 0)

Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong nên ta có:

16x + 16y = 1 (1)

Người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc nên ta có:

15x + 6y $\frac{3}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 16 x + 16 y = 1 \\ 15 x + 6 y = \frac{3}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{16} - y \\ 15 (\frac{1}{16} - y) + 6 y = \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{16} - y \\ - 9 y = \frac{- 3}{16} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{24} \\ y = \frac{1}{48} \end{cases}$ (thỏa mãn)

Người thứ nhất mỗi giờ làm dược $\frac{1}{24}$ công việc nên người thứ nhất làm một mình 24 giờ sẽ xong công việc.

Người thứ hai mỗi giờ làm dược $\frac{1}{48}$ công việc nên người thứ hai làm một mình 48 giờ sẽ xong công việc.

Vậy người thứ nhất làm một mình mất 24 giờ, người thứ hai làm một mình mất 48 giờ.

Câu 3/5

Cho Parabol (P): y = ax²

a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua điểm A(2; 4).

b. Với giá trị a vừa tìm được xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.

Xem đáp án

Lời giải

a. Do (P) đi qua điểm A nên:

Thay giá trị của A(2; 4) vào Parabol ta được:

4 = x.2² Û a = 1.

Vậy a = 1 thì (P) đi qua A(2; 4).

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = x + 2

Û x² − x – 2 = 0

Û x² − 2x + x – 2 = 0

Û x(x − 2) + (x − 2) = 0

Û (x – 2)(x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$

• Với x = −1 thì y = x + 2 = –1 + 2 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(−1; 1).

• Với x = 2 thì y = x + 2 = 2 + 2 = 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là C(2; 4).

Câu 4/5

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kình AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B), gọi M là điểm chính giữa cung AC. BM cắt AC tại H và cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) tại K, AM cắt BC tại D.

a. Chứng minh tứ giác DMHC nội tiếp.

b. Chứng minh ∆ABM đồng dạng với ∆HBC suy ra BH.BM = BA.BC

c. Tứ giác AKDH là hình gì? Tại sao?

d. Đường tròn ngoại tiếp ∆BHD cắt đường tròn (B; BA) tại N. Chứng minh A, C, N thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

): Cho nửa đường tròn (O; R) đường kình AB. Điểm C di động (ảnh 1)

Mà C thuộc AH suy ra ba điểm

A, C, N thẳng hàng

Câu 5/5

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b} + 3} + \frac{1}{\sqrt{b} + 2 \sqrt{c} + 3} + \frac{1}{\sqrt{c} + 2 \sqrt{a} + 3} \leq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $\sqrt[4]{a} = x, \sqrt[4]{b} = y, \sqrt[4]{c} = z$ => xyz = 1, x, y, z > 0

Suy ra ta cần chứng minh

$A = \frac{1}{x^{2} + 2 y^{2} + 3} + \frac{1}{y^{2} + 2 z^{2} + 3} + \frac{1}{z {}^{2}+ 2 x^{2} + 3} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

x² + 2y² + 3 = (x² + y²) + (y² + 1) + 2 ≥ 2xy + 2y + 2 = 2(xy + y + 1)

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2} + 2 y^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{x y + y + 1}$

Tương tự ta được:

$\frac{1}{y^{2} + 2 z^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{y z + z + 1} \frac{1}{z^{2} + 2 x^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{z x + x + 1}$

Cộng vế theo vế ta được:

$A \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{1}{y z + z + 1} + \frac{1}{z x + x + 1})$

Xét vế phải ta có

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{1}{y z + z + 1} + \frac{1}{z x + x + 1}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y z}{y z + z + x y z} + \frac{x y z}{z x + x + x y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y z}{z + 1 + y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y z}{z + x y z + y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y}{1 + x y + y}) = \frac{1}{2} (\frac{1 + x y + y}{x y + y + 1}) = \frac{1}{2}$

Vậy $A \leq \frac{1}{2}$ (điều phải chứng minh).

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Giải các phương trình sau:

a) x² – 3 = 0

b) 5x² – 8x – 4 = 0

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{cases}$