Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng:1a+2b+3+1b+2c+3+1c+2a+3≤12

Đặt a4=x,b4=y,c4=z=> xyz = 1, x, y, z > 0 Suy ra ta cần chứng minh A=1x2+2y2+3+1y2+2z2+3+1z+22x2+3≤12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: x2 + 2y2 + 3 = (x2 + y2) + (y2 + 1) + 2 ≥ 2xy + 2y + 2 = 2(xy + y + 1) ⇒1x2+2y2+3≤121xy+y+1 Tương tự ta được: 1y2+2z2+3≤121yz+z+11z2+2x2+3≤121zx+x+1 Cộng vế theo vế ta được: A≤121xy+y+1+1yz+z+1+1zx+x+1 Xét vế phải ta có 121xy+y+1+1yz+z+1+1zx+x+1=121xy+y+1+xyzyz+z+xyz+xyzzx+x+xyz=121xy+y+1+xyy+1+xy+yzz+1+yz=121xy+y+1+xyy+1+xy+yzz+xyz+yz=121xy+y+1+xyy+1+xy+y1+xy+y=121+xy+yxy+y+1=12 Vậy A≤12 (điều phải chứng minh).

Câu hỏi:

14/07/2022 435

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b} + 3} + \frac{1}{\sqrt{b} + 2 \sqrt{c} + 3} + \frac{1}{\sqrt{c} + 2 \sqrt{a} + 3} \leq \frac{1}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\sqrt[4]{a} = x, \sqrt[4]{b} = y, \sqrt[4]{c} = z$ => xyz = 1, x, y, z > 0

Suy ra ta cần chứng minh

$A = \frac{1}{x^{2} + 2 y^{2} + 3} + \frac{1}{y^{2} + 2 z^{2} + 3} + \frac{1}{z {}^{2}+ 2 x^{2} + 3} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

x² + 2y² + 3 = (x² + y²) + (y² + 1) + 2 ≥ 2xy + 2y + 2 = 2(xy + y + 1)

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2} + 2 y^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{x y + y + 1}$

Tương tự ta được:

$\frac{1}{y^{2} + 2 z^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{y z + z + 1} \frac{1}{z^{2} + 2 x^{2} + 3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{z x + x + 1}$

Cộng vế theo vế ta được:

$A \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{1}{y z + z + 1} + \frac{1}{z x + x + 1})$

Xét vế phải ta có

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{1}{y z + z + 1} + \frac{1}{z x + x + 1}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y z}{y z + z + x y z} + \frac{x y z}{z x + x + x y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y z}{z + 1 + y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y z}{z + x y z + y z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x y + y + 1} + \frac{x y}{y + 1 + x y} + \frac{y}{1 + x y + y}) = \frac{1}{2} (\frac{1 + x y + y}{x y + y + 1}) = \frac{1}{2}$

Vậy $A \leq \frac{1}{2}$ (điều phải chứng minh).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho Parabol (P): y = ax²

a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua điểm A(2; 4).

b. Với giá trị a vừa tìm được xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.

Xem đáp án » 14/07/2022 5,620

Câu 2:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được $\frac{3}{4}$ công việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc

Xem đáp án » 14/07/2022 3,279

Câu 3:

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kình AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B), gọi M là điểm chính giữa cung AC. BM cắt AC tại H và cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) tại K, AM cắt BC tại D.

a. Chứng minh tứ giác DMHC nội tiếp.

b. Chứng minh ∆ABM đồng dạng với ∆HBC suy ra BH.BM = BA.BC

c. Tứ giác AKDH là hình gì? Tại sao?

d. Đường tròn ngoại tiếp ∆BHD cắt đường tròn (B; BA) tại N. Chứng minh A, C, N thẳng hàng.

Xem đáp án » 14/07/2022 2,449

Câu 4:

Giải các phương trình sau:

a) x² – 3 = 0

b) 5x² – 8x – 4 = 0

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 14/07/2022 1,478

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng:1a+2b+3+1b+2c+3+1c+2a+3≤12

Nhà sách VIETJACK:

Cho Parabol (P): y = ax2 a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua điểm A(2; 4). b. Với giá trị a vừa tìm được xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.

Giải các phương trình sau: a) x2 – 3 = 0 b) 5x2 – 8x – 4 = 0 Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: x+2y=52x−5y=1

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b} + 3} + \frac{1}{\sqrt{b} + 2 \sqrt{c} + 3} + \frac{1}{\sqrt{c} + 2 \sqrt{a} + 3} \leq \frac{1}{2}$

Cho Parabol (P): y = ax²

a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua điểm A(2; 4).

b. Với giá trị a vừa tìm được xác định tọa độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.

Giải các phương trình sau:

a) x² – 3 = 0

b) 5x² – 8x – 4 = 0

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x - 5 y = 1 \end{cases}$