Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2\ge \frac{169}{18}$

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\widehat{CMD}$ .

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

). Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+3}$  và $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{2-\sqrt{x}}-\frac{7\sqrt{x}-6}{x-4}$  (với x ≥ 0; x ≠ 4.)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

2) Cho biểu thức $P=\frac{B}{A}$ . Chứng minh $P=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$ .

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\ \frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{array}\right.$ .

2) Cho phương trình: x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.