Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: a+1b2+b+1a2≥16918

Xét vế trái a+1b2+b+1a2 =a2+2ab+1b2+b2+2ba+1a2=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+6581(a2+b2) =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+6581a2+3−a2=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+65812a2−6a+9 =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+65812a2−6a+9=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+13081a2−2.32a+94+94 =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+13081a−322+6518≥cosi21681a2a2+2.2ab.ba+21681b2b2+0+6518 =16918 (điều phải chứng minh). Dấu “=” xảy ra khi a = b = 32 .

Câu hỏi:

13/07/2024 692

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2} \geq \frac{169}{18}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét vế trái

${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2}$

$= a^{2} + 2 \frac{a}{b} + \frac{1}{b^{2}} + b^{2} + 2 \frac{b}{a} + \frac{1}{a^{2}} = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} (a^{2} + b^{2})$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [a^{2} + {(3 - a)}^{2}] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} [a^{2} - 2. \frac{3}{2} a + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} {(a - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{65}{18} \geq^{\cos i} 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{a^{2}}{a^{2}}} + 2.2 \sqrt{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} + 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{b^{2}}{b^{2}}} + 0 + \frac{65}{18}$

= $\frac{169}{18}$ (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = $\frac{3}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\hat{C M D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 1)

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 2)

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn lúc đầu (0 < x, y < 120)

Nữa chu vi của khu vườn lúc đầu là: x + y = 240 : 2 = 120 (m) (1)

Diện tích khu vườn lúc đầu là: xy (m²)

Chiều dài khu vườn lúc sau là: x + 9 (m)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là: y + 7 (m)

Diện tích khu vườn lúc sau là: (x + 9)(y + 7) (m²)

Do diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m²nên ta có:

(x + 9)(y + 7) – xy = 963 (m²) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 120 \\ (x + 9) (y + 7) - x y = 963 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 120 \\ x y + 7 x + 9 y + 63 - x y = 963 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 7 (120 - y) + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 840 - 7 y + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 2 y = 60 \end{cases}$