Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: a+1b2+b+1a2≥16918

Xét vế trái a+1b2+b+1a2 =a2+2ab+1b2+b2+2ba+1a2=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+6581(a2+b2) =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+6581a2+3−a2=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+65812a2−6a+9 =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+65812a2−6a+9=1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+13081a2−2.32a+94+94 =1681a2+1a2+2ab+ba+1681b2+1b2+13081a−322+6518≥cosi21681a2a2+2.2ab.ba+21681b2b2+0+6518 =16918 (điều phải chứng minh). Dấu “=” xảy ra khi a = b = 32 .

Câu hỏi:

19/08/2025 1,254

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2} \geq \frac{169}{18}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét vế trái

${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2}$

$= a^{2} + 2 \frac{a}{b} + \frac{1}{b^{2}} + b^{2} + 2 \frac{b}{a} + \frac{1}{a^{2}} = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} (a^{2} + b^{2})$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [a^{2} + {(3 - a)}^{2}] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{65}{81} [2 a^{2} - 6 a + 9] = (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} [a^{2} - 2. \frac{3}{2} a + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}]$

$= (\frac{16}{81} a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{16}{81} b^{2} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{130}{81} {(a - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{65}{18} \geq^{\cos i} 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{a^{2}}{a^{2}}} + 2.2 \sqrt{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} + 2 \sqrt{\frac{16}{81} \frac{b^{2}}{b^{2}}} + 0 + \frac{65}{18}$

= $\frac{169}{18}$ (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = $\frac{3}{2}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Học trực tuyến Lớp 9 → 10.839 đề thi · 1.117 bài giảng

Lớp 9 Văn

148 người thi tuần này

12 câu Trắc nghiệm Vài nét về tác giả Nguyễn Dữ (có đáp án)

12 câu 3.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Toán

1,464 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có đáp án - phần 1)

15 câu 22.9 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Hóa học

57 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hóa 9 Bài 24 (có đáp án): Ôn tập học kì 1

12 câu 3.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tiếng Anh

1,113 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 9 Global Success Unit 4 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 2.1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Khoa học tự nhiên

184 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tái bản DNA và phiên mã tạo RNA lớp 9 (có đáp án)

14 câu 1.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Lịch sử

205 người thi tuần này

28 câu Trắc nghiệm Lịch sử 9 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

28 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Giáo dục công dân

179 người thi tuần này

15 câu trắc nghiệm GDCD 9 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

15 câu 1.1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tin học

126 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Tin học 9 năm 2025-2026 THCS Quế Thuận (Đà Nẵng) có đáp án

18 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (KC < KD, d không đi qua tâm).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

KA² = KC.KD = KM.KO.

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của $\hat{C M D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 1)

Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ (ảnh 2)

Câu 2

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m. Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9m, tăng chiều rộng thêm 7 m, sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963 m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn lúc đầu (0 < x, y < 120)

Nữa chu vi của khu vườn lúc đầu là: x + y = 240 : 2 = 120 (m) (1)

Diện tích khu vườn lúc đầu là: xy (m²)

Chiều dài khu vườn lúc sau là: x + 9 (m)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là: y + 7 (m)

Diện tích khu vườn lúc sau là: (x + 9)(y + 7) (m²)

Do diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m²nên ta có:

(x + 9)(y + 7) – xy = 963 (m²) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 120 \\ (x + 9) (y + 7) - x y = 963 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 120 \\ x y + 7 x + 9 y + 63 - x y = 963 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 7 (120 - y) + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 840 - 7 y + 9 y = 900 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 120 - y \\ 2 y = 60 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 90 \\ y = 30 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy chiều dài khu vườn lúc đầu là 90 m và chiều rộng lúc đầu là 30 m.

Câu 3

). Cho hai biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{2 \sqrt{x} + 3}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2}{2 - \sqrt{x}} - \frac{7 \sqrt{x} - 6}{x - 4}$ (với x ≥ 0; x ≠ 4.)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

2) Cho biểu thức $P = \frac{B}{A}$ . Chứng minh $P = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2}$ .
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

1) Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{y - 2} = 6 \\ \frac{5}{x + 1} - \frac{1}{y - 2} = 3 \end{cases}$ .

2) Cho phương trình: x² −2(m −1)x + m² − 3m = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. Chứng minh rằng: ${(a + \frac{1}{b})}^{2} + {(b + \frac{1}{a})}^{2} \geq \frac{169}{18}$