Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:

a) Chứng minh: các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh CK.CD = CA.CB

c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tòn (O) chứng minh: B, K, N thẳng hàng.

a. Do (d) đi qua A(0; 2) ta có: 2 = 0.a + b Û b = 2

(d) cũng qua B(1; 3) ta có:

1.a + b = 3

Û a = 3 – b = 3 – 2 = 1.

Vậy (d) có dạng y = x + 2.

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = x + 2

Û x² – x – 2 = 0

Û x² – 2x + x – 2 = 0

Û x(x – 2) + (x – 2) = 0

Û (x – 2)(x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l}\text{x}=2\\ \text{x}=-1\end{array}$

• Với x = 2 thì y = x + 2 = 2 + 2= 4.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là C(2; 4).

• Với x = –1 thì y = x + 2 = –1 + 2 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là D(–1; 1).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là C(2; 4) và D(–1; 1).

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z = –34

Û 4x² – 4xy – 4xz + (y² + 2yz + z²) + (y² – 6y + 9) + (z² – 10z +25) = 0

Û (2x)² – 2.2x.(y + z) + (y + z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Û (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Vì (2x – y – z)² ≥ 0; (y – 3)² ≥ 0; (z – 5)² ≥ 0

Nên để (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0 thì:

$\{\begin{array}{l}2x-y-z=0\\ y-3=0\\ z-5=0\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}2x=y+z\\ y=3\\ z=5\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\\ z=5\end{array}$

Thay vào biểu thức M ta được:

(4 – 4)²⁰²⁰ – (3 – 4)²⁰²¹ + (5 – 4)²⁰²² = 0²⁰²⁰ – (–1)²⁰²¹ + 1²⁰²² = 0 + 1 + 1 = 2

Vậy M = (x – 4)²⁰²⁰ – (y – 4)²⁰²¹ + (z – 4)²⁰²² = 2.