Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá sách thứ nhất sang giá sách thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng $\frac{4}{5}$số sách còn lại ở giá sách thứ nhất. Tính số sách trong mỗi giá lúc ban đầu.

4x² + 2y² + 2z² – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z = –34

Û 4x² – 4xy – 4xz + (y² + 2yz + z²) + (y² – 6y + 9) + (z² – 10z +25) = 0

Û (2x)² – 2.2x.(y + z) + (y + z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Û (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0

Vì (2x – y – z)² ≥ 0; (y – 3)² ≥ 0; (z – 5)² ≥ 0

Nên để (2x – y – z)² + (y – 3)² + (z – 5)² = 0 thì:

$\{\begin{array}{l}2x-y-z=0\\ y-3=0\\ z-5=0\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}2x=y+z\\ y=3\\ z=5\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\\ z=5\end{array}$

Thay vào biểu thức M ta được:

(4 – 4)²⁰²⁰ – (3 – 4)²⁰²¹ + (5 – 4)²⁰²² = 0²⁰²⁰ – (–1)²⁰²¹ + 1²⁰²² = 0 + 1 + 1 = 2

Vậy M = (x – 4)²⁰²⁰ – (y – 4)²⁰²¹ + (z – 4)²⁰²² = 2.

a) Ta có: $\widehat{AMB}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB suy ra $\widehat{DMA}$= 90°

Ta cũng có $\widehat{DCA}$= 90° ( DC ⊥ AB).

Xét tứ giác ADMC có: $\widehat{AMB}$ = 90° và $\widehat{DCA}$= 90°

Do đó tứ giác ADMC nội tiếp.

Vậy các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\widehat{KAC}=\widehat{CDB}$(tứ giác ADMC nội tiếp)

$\widehat{ACK}=\widehat{DCB}$= 90° (DC ⊥ AB)

Suy ra ∆ACK đồng dạng ∆DCB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CD}\text{=}\frac{CK}{CB}\iff$ CK.CD = CA.CB (đpcm)

c) Xét tam giác DAB có:

AM ⊥ DB (chứng minh trên)

DC ⊥ AB (giả thiết)

Mà DC cắt AM tại K

Suy ra K là giao điểm của hai đường cao trong tam giác DAB suy ra K là trực tâm của tam giác DAB

Ta cũng có $\widehat{ANB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra BN ⊥ AD

Suy ra BN cũng là đường cao của tam giác DAC suy ra BN đi qua K

Dẫn đến 3 điểm B, N, K thẳng hàng.