Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CB bằng cung CA, D là một điểm tùy ý trên cung CB (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx theo thứ tự tại E và F.

a. Chứng minh rằng: ∆ABE là tam giác cân

b. Chứng minh rằng: FB² = FD.FA

c. Chứng minh rằng: CDFE là tứ giác nội tiếp

a. Vẽ (P)

Bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm A(−2; 4); B(−1; 1); O(0; 0); C(1; 1); D(2; 4).

Vẽ (d)

Đường thẳng (d): y = 2x + 3 có a = 2, b = 3 đi qua hai điểm (0; b) và $(\frac{-b}{a};0)$

Do đó, hai điểm thuộc đường thẳng (d) là M(0; 3) và  N(−1,5; 0).

b. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = 2x + 3

Û x² – 2x – 3 = 0

Û x² – 3x + x – 3 = 0

Û x(x – 3) + (x – 3) = 0

Û (x – 3)(x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l}\text{x}=3\\ \text{x}=-1\end{array}$

• Với x = 3 thì y = 2x + 3 = 2.3 + 3= 9.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A(3; 9).

• Với x = −1 thì y = 2x + 3 = 2.(−1) + 3 = 1.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(−1; 1).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có hai giao điểm là A(3; 9) và B(−1; 1).

Gọi x (m) là chiều dài của khu vườn (x > 0)

y (m) là chiều rộng của khu vườn (y > 3)

Khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 46m ta có: 2x + 2y = 46 (m) (1)

Chiều dài hình chữ nhật sau khi tăng 5 m là: x + 5 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật sai khi giảm là: y – 3 (m)

Tăng chiều dài 5m và giảm chiều rông 3m thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng nên ta có phương trình: x + 5 = 4(y – 3) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=46\\ x+5=4(y-3)\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}2x+2y=46\\ x=4y-12-5\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}2.(4y-17)+2y=46\\ x=4y-17\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}10y=80\\ x=4y-17\end{array}$ 

Û $\{\begin{array}{l}y=8\\ x=15\end{array}$ (thỏa mãn)

Khi đó diện tích khu vườn là S = x.y = 15.8 = 120 (m²).

Vậy diện tích khu vườn hình chữ nhật là 120 m².