Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2a−1+2b2b−1+3c2c−1 .

Xét biểu thức mx2x−1 với x > 1. mx2x−1=m(x2x−1−2+2) =m(x2−2x+2x−1+2) =m(x2−2x+1+1x−1+2) =m((x−1)2+1x−1+2) =m(x−1−2+1x−1+4) =m(x−12−2x−1 . 1x−1+1x−12)+4m =m(x−1−1x−1)2+4m≥4m ∀x>1 Dấu bằng xảy ra khi x−1=1x−1⇔x=2 . Áp dụng vào biểu thức P ta được: P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Câu hỏi:

29/06/2022 351

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{2 b^{2}}{b - 1} + \frac{3 c^{2}}{c - 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét biểu thức $\frac{m x^{2}}{x - 1}$ với x > 1.

$\frac{m x^{2}}{x - 1} = m (\frac{x^{2}}{x - 1} - 2 + 2)$

$= m (\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} + 2)$

$= m (\frac{x^{2} - 2 x + 1 + 1}{x - 1} + 2)$

$= m (\frac{{(x - 1)}^{2} + 1}{x - 1} + 2)$

$= m (x - 1 - 2 + \frac{1}{x - 1} + 4)$

$= m ({\sqrt{x - 1}}^{2} - 2 \sqrt{x - 1} . \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}) + 4 m$

$= m {(\sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}})}^{2} + 4 m \geq 4 m \forall x > 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2$ .

Áp dụng vào biểu thức P ta được:

P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² + 3x – 4 = 0

b) ${\begin{cases} 3 x - \frac{2}{\sqrt{y - 1}} = 4 \\ 2 x - \frac{1}{\sqrt{y - 1}} = 3 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

a) x² + 3x – 4 = 0

Û x² + 4x – x – 4 = 0

Û x(x + 4) – (x + 4) = 0

Û (x – 1)(x + 4) = 0

Û $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 4 \end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1; −4}.

b) Điều kiện xác định y – 1 > 0 Û y > 1.

Đặt t = $\frac{1}{\sqrt{y - 1}}$ (t > 0) (vì y > 1 nên $\sqrt{y - 1} > 0$ , do đó $t = \frac{1}{\sqrt{y - 1}} > 0$ )

Ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} 3 x - 2 t = 4 \\ 2 x - t = 3 \end{cases}$

Û ${\begin{cases} 3 x - 2 t = 4 \\ 2 x - 3 = t \end{cases}$

Û ${\begin{cases} 3 x - 2 (2 x - 3) = 4 \\ t = 2 x - 3 \end{cases}$

Û ${\begin{cases} - x = - 2 \\ t = 2 x - 3 \end{cases}$

Û ${\begin{cases} x = 2 \\ t = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{y - 1}}$ = 1 Û $\sqrt{y - 1}$ = 1

Û y – 1 = 1 Û y = 2 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 2).

Câu 2

Cho phương trình: m²x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Lời giải

a. Với m = 1 phương trình trở thành: x² – 4x + 1 = 0

Tính ∆ = b² – 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 1; b = −4; c = 1.

∆ = (−4)² – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0.

Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁= $\frac{4 + \sqrt{12}}{2.1} = 2 + \sqrt{3}$ ; x₂= $\frac{4 - \sqrt{12}}{2.1} = 2 - \sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = ${2 + \sqrt{3}; 2 - \sqrt{3}}$ .

b. ∆’ = (b’)² – ac = (−m – 1)² – m².1 = m² + 2m + 1 – m² = 2m + 1

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

∆’ > 0 Û 2m + 1 > 0 Û m > $\frac{- 1}{2}$ .

Vậy giá trị m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là m = 0.

Câu 3

Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn (O; R), đường kính BC cố định và điểm A cố định thuộc đoạn thẳng OB (A không trùng với O và B). Kẻ dây PQ ⊥ BC tại A. Lấy M thuộc cung lớn PQ (M không trùng với C). Nối BM cắt PQ tại E. Chứng minh:

a. Tứ giác AEMC nội tiếp

b. BP² = BE. BM = BA.BC

c. Từ E kẻ đường thẳng song song BC cắt PC tại I. Chứng minh: và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung lớn PQ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2a−1+2b2b−1+3c2c−1 .

Bình luận

Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 + 3x – 4 = 0 b) {3x−2y−1=42x−1y−1=3

Cho phương trình: m2x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1) a. Giải phương trình với m = 1. b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{2 b^{2}}{b - 1} + \frac{3 c^{2}}{c - 1}$ .

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² + 3x – 4 = 0

b) ${\begin{cases} 3 x - \frac{2}{\sqrt{y - 1}} = 4 \\ 2 x - \frac{1}{\sqrt{y - 1}} = 3 \end{cases}$

Cho phương trình: m²x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.