Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2a−1+2b2b−1+3c2c−1 .

Xét biểu thức mx2x−1 với x > 1. mx2x−1=m(x2x−1−2+2) =m(x2−2x+2x−1+2) =m(x2−2x+1+1x−1+2) =m((x−1)2+1x−1+2) =m(x−1−2+1x−1+4) =m(x−12−2x−1 . 1x−1+1x−12)+4m =m(x−1−1x−1)2+4m≥4m ∀x>1 Dấu bằng xảy ra khi x−1=1x−1⇔x=2 . Áp dụng vào biểu thức P ta được: P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Câu hỏi:

29/06/2022 332

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{2 b^{2}}{b - 1} + \frac{3 c^{2}}{c - 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét biểu thức $\frac{m x^{2}}{x - 1}$ với x > 1.

$\frac{m x^{2}}{x - 1} = m (\frac{x^{2}}{x - 1} - 2 + 2)$

$= m (\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} + 2)$

$= m (\frac{x^{2} - 2 x + 1 + 1}{x - 1} + 2)$

$= m (\frac{{(x - 1)}^{2} + 1}{x - 1} + 2)$

$= m (x - 1 - 2 + \frac{1}{x - 1} + 4)$

$= m ({\sqrt{x - 1}}^{2} - 2 \sqrt{x - 1} . \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}) + 4 m$

$= m {(\sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}})}^{2} + 4 m \geq 4 m \forall x > 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} \Leftrightarrow x = 2$ .

Áp dụng vào biểu thức P ta được:

P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 970.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² + 3x – 4 = 0

b) ${\begin{cases} 3 x - \frac{2}{\sqrt{y - 1}} = 4 \\ 2 x - \frac{1}{\sqrt{y - 1}} = 3 \end{cases}$

Xem đáp án » 11/07/2024 7,389

Câu 2:

Cho phương trình: m²x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,371

Câu 3:

Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

Xem đáp án » 29/06/2022 2,441

Câu 4:

Cho đường tròn (O; R), đường kính BC cố định và điểm A cố định thuộc đoạn thẳng OB (A không trùng với O và B). Kẻ dây PQ ⊥ BC tại A. Lấy M thuộc cung lớn PQ (M không trùng với C). Nối BM cắt PQ tại E. Chứng minh:

a. Tứ giác AEMC nội tiếp

b. BP² = BE. BM = BA.BC

c. Từ E kẻ đường thẳng song song BC cắt PC tại I. Chứng minh: và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung lớn PQ.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,150

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2a−1+2b2b−1+3c2c−1 .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 + 3x – 4 = 0 b) {3x−2y−1=42x−1y−1=3

Cho phương trình: m2x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1) a. Giải phương trình với m = 1. b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{2 b^{2}}{b - 1} + \frac{3 c^{2}}{c - 1}$ .

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² + 3x – 4 = 0

b) ${\begin{cases} 3 x - \frac{2}{\sqrt{y - 1}} = 4 \\ 2 x - \frac{1}{\sqrt{y - 1}} = 3 \end{cases}$

Cho phương trình: m²x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.