Câu hỏi:

12/07/2024 5,396

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: $\hat{E I B}$ = 90° (vì CI ⊥ AB)

$\hat{E F B}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BIEF có $\hat{E I B}$ + $\hat{E F B}$ = 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Tam giác ABC có $\hat{A C B}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∆ACB vuông tại C

Xét ∆ACB vuông tại C đường cao IC, ta được:

AC² = AI . AB (1)

Xét ∆ AEI và ∆ ABF có:

$\hat{F A B}$ là góc chung

$\hat{A E I} = \hat{A B F}$ (tứ giác BIEF nội tiếp)

Suy ra ∆ AEI ∆ ABF (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{A E}{A B} = \frac{A I}{A F} \Leftrightarrow A E . A F = A B . A I$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AC² = AI.AB = AE.AF (điều phải chứng minh)

c) Ta có CF ⊥ FM ( $\hat{C F M}$ = 90° góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

DN ⊥ FM (giả thiết)

Suy ra CF // DM

Suy ra tứ giác CFND là hình thang (3)

Ta có $\hat{C F D} = \hat{F D N}$ (hai góc so le trong của CF // DN)

Suy ra $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{N F}$ (hai góc nội tiếp bằng nhau)

Û $\overset{⌢}{C D} + \overset{⌢}{C F} = \overset{⌢}{C F} + \overset{⌢}{F N}$

Û $\overset{⌢}{D F} = \overset{⌢}{C N}$

$\Rightarrow \hat{F N D} = \hat{C D N}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác CFND là hình thang cân.

Suy ra CN = FD (hai đường chéo của hình thang cân).

d) Ta có K là giao điểm của CN và FD nên:

CK = KF

Mà ta cũng có CO = OF = R.

Suy ra OK là trung trực của CF.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp của CEF sẽ thuộc đường thẳng OK (5)

Ta có O là trung điểm CM.

I là trung điểm CD (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây).

Suy ra OI là đường trung bình của ∆DCM.

Suy ra IO // DM.

Suy ra AB // DM.

Đường tròn (O) có dây AB // dây DM suy ra $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{M B}$

$\Leftrightarrow \overset{⌢}{A D} + \overset{⌢}{D M} = \overset{⌢}{D M} + \overset{⌢}{M B}$

$\Leftrightarrow \overset{⌢}{A M} = \overset{⌢}{D B} \Rightarrow \hat{A F M} = \hat{D C B}$

Gọi P là giao điểm của FM và CB.

Xét tứ giác ECFP có $\hat{E C P} = \hat{E F P}$

Suy ra tứ giác ECFP nội tiếp.

Tứ giác ECFP nội tiếp có $\hat{C F P}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra CP là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP thuộc CP.

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB (6)

Từ (5) và (6) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF là giao điểm của OK và BC

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,287

Câu 2:

Để chuẩn bị cho buổi ôn tập giải bài toán bằng cách lập phương trình của lớp 9A, tổ 1 và tổ 2 được giao chuẩn bị bài tập về dạng toán chuyển động. Biết rằng nếu cả hai tổ cùng làm thì sau 3 giờ 36 phút giờ sẽ xong, còn nếu tổ 1 làm trong 2 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì được $\frac{2}{3}$ công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm một mình thì bao lâu xong công việc

Xem đáp án » 13/07/2024 1,668

Câu 3:

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 561

Câu 4:

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 272

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Nhà sách VIETJACK:

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(m+n)2mn.

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau: a) {−3x+y=−92x+7y=52 b) {3x+3−2(x+2y)=−1722x+3+4x+8y=21

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$