Câu hỏi:
12/07/2024 7,610
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.
a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.
b) Chứng minh: AC2 = AI.AB = AE.AF .
c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.
d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.
a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.
b) Chứng minh: AC2 = AI.AB = AE.AF .
c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.
d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: = 90° (vì CI ⊥ AB)
= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BIEF có += 90° + 90° = 180°
Suy ra tứ giác BIEF nội tiếp.
b) Tam giác ABC có = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra ∆ACB vuông tại C
Xét ∆ACB vuông tại C đường cao IC, ta được:
AC2 = AI . AB (1)
Xét ∆ AEI và ∆ ABF có:
là góc chung
(tứ giác BIEF nội tiếp)
Suy ra ∆ AEI 
∆ ABF (g.g)
Từ đó suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AC2 = AI.AB = AE.AF (điều phải chứng minh)
c) Ta có CF ⊥ FM ( = 90° góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
DN ⊥ FM (giả thiết)
Suy ra CF // DM
Suy ra tứ giác CFND là hình thang (3)
Ta có (hai góc so le trong của CF // DN)
Suy ra (hai góc nội tiếp bằng nhau)
Û
Û
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (4)
Từ (3) và (4) suy ra tứ giác CFND là hình thang cân.
Suy ra CN = FD (hai đường chéo của hình thang cân).
d) Ta có K là giao điểm của CN và FD nên:
CK = KF
Mà ta cũng có CO = OF = R.
Suy ra OK là trung trực của CF.
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp của CEF sẽ thuộc đường thẳng OK (5)
Ta có O là trung điểm CM.
I là trung điểm CD (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây).
Suy ra OI là đường trung bình của ∆DCM.
Suy ra IO // DM.
Suy ra AB // DM.
Đường tròn (O) có dây AB // dây DM suy ra
Gọi P là giao điểm của FM và CB.
Xét tứ giác ECFP có
Suy ra tứ giác ECFP nội tiếp.
Tứ giác ECFP nội tiếp có = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra CP là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP.
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP thuộc CP.
Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB (6)
Từ (5) và (6) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF là giao điểm của OK và BC
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho phương trình x2 – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Cho phương trình x2 – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,192
Câu 2:
Để chuẩn bị cho buổi ôn tập giải bài toán bằng cách lập phương trình của lớp 9A, tổ 1 và tổ 2 được giao chuẩn bị bài tập về dạng toán chuyển động. Biết rằng nếu cả hai tổ cùng làm thì sau 3 giờ 36 phút giờ sẽ xong, còn nếu tổ 1 làm trong 2 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì được công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm một mình thì bao lâu xong công việc
Xem đáp án »
13/07/2024
1,821
Câu 3:
Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:
x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:
x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Xem đáp án »
13/07/2024
647
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận