Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(m+n)2mn.

Ta có: ∆’ = 22 – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1. Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có: ∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0 Û n(1 – m) ≥ 1 Mà n > 0 nên 1 – m > 0 ⇔m<1 Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 ⇔ 1 > 1 – m > 0 Ta có n(1 – m) ≥ 1 ⇔n≥11−m mà 1 > 1 – m ⇔11−m>1 nên n > 1 Ta có P=(m+n)2mn=m2+2mn+n2mn=mn+nm+2 Đặt a = nmvà b = n(1 − m) (b ≥ 1) b1−m Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1. Xét P = a+1a+2với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất. Do a =bm(1−m) nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất b nhỏ nhất = 1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) ≤(m+1−m2)2=0,25 Vậy a nhỏ nhất bằng 10,25=4 Khi đó: Pmin = 4+14+2 = 6,25 Khi m = 0,5 và n = 2.

Câu hỏi:

13/07/2024 561

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: ∆’ = 2² – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.

Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:

∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0

Û n(1 – m) ≥ 1

Mà n > 0 nên 1 – m > 0 $\Leftrightarrow m < 1$

Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 $\Leftrightarrow$ 1 > 1 – m > 0

Ta có n(1 – m) ≥ 1 $\Leftrightarrow n \geq \frac{1}{1 - m}$

mà 1 > 1 – m $\Leftrightarrow \frac{1}{1 - m} > 1$

nên n > 1

Ta có $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n} = \frac{m^{2} + 2 m n + n^{2}}{m n} = \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2$

Đặt a = $\frac{n}{m}$ và b = n(1 − m) (b ≥ 1)

$\frac{b}{1 - m}$

Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.

Xét P = $a + \frac{1}{a} + 2$ với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.

Do a $= \frac{b}{m (1 - m)}$ nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất

b nhỏ nhất = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) $\leq {(\frac{m + 1 - m}{2})}^{2} = 0,25$

Vậy a nhỏ nhất bằng $\frac{1}{0,25} = 4$

Khi đó:

P_min= $4 + \frac{1}{4} + 2$ = 6,25

Khi m = 0,5 và n = 2.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,397

Câu 2:

Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,287

Câu 3:

Để chuẩn bị cho buổi ôn tập giải bài toán bằng cách lập phương trình của lớp 9A, tổ 1 và tổ 2 được giao chuẩn bị bài tập về dạng toán chuyển động. Biết rằng nếu cả hai tổ cùng làm thì sau 3 giờ 36 phút giờ sẽ xong, còn nếu tổ 1 làm trong 2 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì được $\frac{2}{3}$ công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm một mình thì bao lâu xong công việc

Xem đáp án » 13/07/2024 1,668

Câu 4:

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 272

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(m+n)2mn.

Nhà sách VIETJACK:

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau: a) {−3x+y=−92x+7y=52 b) {3x+3−2(x+2y)=−1722x+3+4x+8y=21

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$