Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(m+n)2mn.

Ta có: ∆’ = 22 – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1. Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có: ∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0 Û n(1 – m) ≥ 1 Mà n > 0 nên 1 – m > 0 ⇔m<1 Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 ⇔ 1 > 1 – m > 0 Ta có n(1 – m) ≥ 1 ⇔n≥11−m mà 1 > 1 – m ⇔11−m>1 nên n > 1 Ta có P=(m+n)2mn=m2+2mn+n2mn=mn+nm+2 Đặt a = nmvà b = n(1 − m) (b ≥ 1) b1−m Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1. Xét P = a+1a+2với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất. Do a =bm(1−m) nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất b nhỏ nhất = 1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) ≤(m+1−m2)2=0,25 Vậy a nhỏ nhất bằng 10,25=4 Khi đó: Pmin = 4+14+2 = 6,25 Khi m = 0,5 và n = 2.

Câu hỏi:

13/07/2024 633

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: ∆’ = 2² – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.

Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:

∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0

Û n(1 – m) ≥ 1

Mà n > 0 nên 1 – m > 0 $\Leftrightarrow m < 1$

Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 $\Leftrightarrow$ 1 > 1 – m > 0

Ta có n(1 – m) ≥ 1 $\Leftrightarrow n \geq \frac{1}{1 - m}$

mà 1 > 1 – m $\Leftrightarrow \frac{1}{1 - m} > 1$

nên n > 1

Ta có $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n} = \frac{m^{2} + 2 m n + n^{2}}{m n} = \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2$

Đặt a = $\frac{n}{m}$ và b = n(1 − m) (b ≥ 1)

$\frac{b}{1 - m}$

Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.

Xét P = $a + \frac{1}{a} + 2$ với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.

Do a $= \frac{b}{m (1 - m)}$ nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất

b nhỏ nhất = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) $\leq {(\frac{m + 1 - m}{2})}^{2} = 0,25$

Vậy a nhỏ nhất bằng $\frac{1}{0,25} = 4$

Khi đó:

P_min= $4 + \frac{1}{4} + 2$ = 6,25

Khi m = 0,5 và n = 2.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 970.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,978

Câu 2:

Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,062

Câu 3:

Để chuẩn bị cho buổi ôn tập giải bài toán bằng cách lập phương trình của lớp 9A, tổ 1 và tổ 2 được giao chuẩn bị bài tập về dạng toán chuyển động. Biết rằng nếu cả hai tổ cùng làm thì sau 3 giờ 36 phút giờ sẽ xong, còn nếu tổ 1 làm trong 2 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì được $\frac{2}{3}$ công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm một mình thì bao lâu xong công việc

Xem đáp án » 13/07/2024 1,787

Câu 4:

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 328

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(m+n)2mn.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau: a) {−3x+y=−92x+7y=52 b) {3x+3−2(x+2y)=−1722x+3+4x+8y=21

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:

x² – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{(m + n)}^{2}}{m n}$ .

Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{cases} - 3 x + y = - 9 \\ 2 x + 7 y = 52 \end{cases}$

b) ${\begin{cases} \frac{3}{\sqrt{x + 3}} - 2 (x + 2 y) = - \frac{17}{2} \\ \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + 4 x + 8 y = 21 \end{cases}$