Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 68 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là 178 m. Hãy tìm chiều dài, chiều rộng của  khu vườn đã cho lúc ban đầu.

1) Ta có: $\widehat{FEB}$= 90° (CE ⊥ AB)

$\widehat{FMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BMFE có $\widehat{FEB}$+$\widehat{FMB}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $\widehat{AMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB

Xét tam giác AKB có:

KE ⊥ AB (giả thiết)

AM ⊥ KB (chứng minh trên)

Mà KE cắt AM tại F suy ra F là trực tâm của ∆AKB.

Suy ra BF ⊥ AK.

Xét ∆ AFE và ∆ KBE có:

$\widehat{AEF}\text{=}\widehat{KEB}$= 90° (KE ⊥ AB)

$\widehat{AFE}\text{=}\widehat{KBE}$ (tứ giác BMFE nội tiếp)

Suy ra ∆AFE  ∆KBE (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AE}{KE}=\frac{FE}{BE}\iff AE.BE=KE.EF$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:

OA = OM = R suy ra ∆AOM cân tại O suy ra $\widehat{OMA}=\widehat{OAM}$ (1)

Ta có $\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°$ (MI là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=\widehat{KMF}=90°$ (KM ⊥ FM)

Suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{KMI}$ (2)

Mà ∆AFE  ∆KBE suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{IKM}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$

Suy ra tam giác IMK cân tại I suy ra IM = IK (4)

Xét ∆KMF vuông tại M ta có:

$\widehat{FKM}+\widehat{KFM}=90°$

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=90°$

Mà $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{IMF}=\widehat{IFM}$ suy ra ∆IMF cân tại I suy ra IM = IF (5)

Từ (4) và (5) suy ra KI = IF (= IM) (điều phải chứng minh)

Ta có $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{-1}$ nên hệ phương trình luôn có cặp nghiệm (x; y) duy nhất.

$\{\begin{array}{l}2x+y=3m-2\\ 3x-y=2m+2\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{l}2x+y+3x+y=3m-2+2m+2\\ y=3x-2m-2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}5x=5m\\ y=3x-2m-2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=m\\ y=m-2\end{array}$

1) Khi m = −1 thì (I) $\iff \{\begin{array}{l}x=m=-1\\ y=m-2=-3\end{array}$

Vậy phương trình có cặp nghiệm là (−1; −3).

2) Thay $\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m-2\end{array}$ vào biểu thức x² + y² = 10 ta được:

m² + (m – 2)² = 10

$\iff$ m² + m² − 4m + 4 =10

$\iff$2m² − 4m − 6 = 0

$\iff$m² − 2m – 3 = 0

$\iff$m² − 3m + m – 3 = 0

$\iff$m(m − 3) + m − 3 = 0

$\iff$(m + 1)(m – 3) = 0

$\iff [\begin{array}{l}m=-1\\ m=3\end{array}$

Vậy m = −1 hoặc m = 3 thì hệ (I) có cặp nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x² + y² = 10.